Функція Вігнера - функція координати та імпульсу квантової частинки, що має деякі властивості аналогічні функції розподілу класичної статистичної механіки. Функція була запропонована Юджином Вігнером в 1932 році для дослідження квантових поправок до класичної статистичної механіки. На меті було замінити хвильову функцію, яка присутня в рівнянні Шредінгера на функцію розподілу ймовірності в фазовому просторі. Її незалежно вивів був Андре Вейль у 1931 році як символ матриці густини теорії зображень в математиці. Функція Вігнера застосовується в статистичній механіці, квантовій хімії, квантовій оптиці, й аналізі сигналів у різних царинах, таких як електроніка, сейсмологія, акустика, біологія.
Фізичний зміст
Класична частинка має визначене положення та імпульс і тому зображується точкою в фазовому просторі. Коли є набір (ансамбль) частинок, ймовірність знайти частинку у визначеному малому об'ємі фазового простору задається функцією розподілу ймовірності. Це не так для квантової частинки через принцип невизначеності. Замість цього можна ввести квазі-ймовірнісний розподіл, який не завжди задовольняє всім властивостям нормальної функції розподілу ймовірності. Наприклад, функція Вігнера стає від'ємною для станів, які не мають класичних аналогів, тому може бути використана для ідентифікації некласичних станів.
Функція Вігнера визначається, як
- ,
де - матриця густини, x - координата частинки, p - імпульс, - зведена стала Планка.
Визначення ймовірності F(p) того, що частинка має імпульс p, за допомогою функції Вігнера задається формулою, аналогічною класичній формулі використання функцією розподілу f(p,x):
- .
Аналогічно, ймовірність F(x) того, що частинка перебуває в точці x, визначається за допомогою функції Вігнера формулою
- .
Однак функція Вігнера не може відігравати роль класичної функції розподілу, тобто задавати ймовірність одночасного перебування частинки з імпульсом p в точці з координатою x, що неможливо через принцип невизначеності Гайзенберга. Функція Вігнера не є всюди додатна, тобто не є ймовірністю.
Математичні властивості
- У цьому розділі функція Вігнера позначена літерою P
- P(x, p) — дійсна функція
- Розподіли ймовірності по x і p задаються інтегралами:
- Зазвичай слід дорівнює 1.
- 1. і 2. має на увазі, що P(x,p) від'ємна де-небудь, за винятком когерентного стану (і змішаних когерентних станів) і .
- P(x, p) має наступні дзеркальні симетрії:
- Часова симетрія:
- Просторова симетрія:
- P(x, p) інваріант відносно перетворень Галілея:
- Функція Вігнера не інваріантна відносно перетворень Лоренца.
- Рівняння руху для кожної точки в фазовому просторі за відсутності сил:
- Перекриття станів обраховується як:
- Оператори і середні значення обраховуються як:
- Для того, щоб P(x, p) репрезентувала фізичні матриці густини, необхідно:
- , де — .
Вимірювання функції Вігнера
Джерела
- Фейнман Р. (1978). Статистическая механика. Москва: «Мир».
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Funkciya Vignera funkciya koordinati ta impulsu kvantovoyi chastinki sho maye deyaki vlastivosti analogichni funkciyi rozpodilu klasichnoyi statistichnoyi mehaniki Funkciya bula zaproponovana Yudzhinom Vignerom v 1932 roci dlya doslidzhennya kvantovih popravok do klasichnoyi statistichnoyi mehaniki Na meti bulo zaminiti hvilovu funkciyu yaka prisutnya v rivnyanni Shredingera na funkciyu rozpodilu jmovirnosti v fazovomu prostori Yiyi nezalezhno viviv buv Andre Vejl u 1931 roci yak simvol matrici gustini teoriyi zobrazhen v matematici Funkciya Vignera zastosovuyetsya v statistichnij mehanici kvantovij himiyi kvantovij optici j analizi signaliv u riznih carinah takih yak elektronika sejsmologiya akustika biologiya Fizichnij zmistKlasichna chastinka maye viznachene polozhennya ta impuls i tomu zobrazhuyetsya tochkoyu v fazovomu prostori Koli ye nabir ansambl chastinok jmovirnist znajti chastinku u viznachenomu malomu ob yemi fazovogo prostoru zadayetsya funkciyeyu rozpodilu jmovirnosti Ce ne tak dlya kvantovoyi chastinki cherez princip neviznachenosti Zamist cogo mozhna vvesti kvazi jmovirnisnij rozpodil yakij ne zavzhdi zadovolnyaye vsim vlastivostyam normalnoyi funkciyi rozpodilu jmovirnosti Napriklad funkciya Vignera staye vid yemnoyu dlya staniv yaki ne mayut klasichnih analogiv tomu mozhe buti vikoristana dlya identifikaciyi neklasichnih staniv Funkciya Vignera viznachayetsya yak f W p x r x h 2 x h 2 e i p h ℏ d h displaystyle f W p x int rho left x frac eta 2 x frac eta 2 right e ip eta hbar d eta de r x x displaystyle rho x x prime matricya gustini x koordinata chastinki p impuls ℏ displaystyle hbar zvedena stala Planka Viznachennya jmovirnosti F p togo sho chastinka maye impuls p za dopomogoyu funkciyi Vignera zadayetsya formuloyu analogichnoyu klasichnij formuli vikoristannya funkciyeyu rozpodilu f p x F p f W p x d x displaystyle F p int f W p x dx Analogichno jmovirnist F x togo sho chastinka perebuvaye v tochci x viznachayetsya za dopomogoyu funkciyi Vignera formuloyu F x f W p x d p displaystyle F x int f W p x dp Odnak funkciya Vignera ne mozhe vidigravati rol klasichnoyi funkciyi rozpodilu tobto zadavati jmovirnist odnochasnogo perebuvannya chastinki z impulsom p v tochci z koordinatoyu x sho nemozhlivo cherez princip neviznachenosti Gajzenberga Funkciya Vignera ne ye vsyudi dodatna tobto ne ye jmovirnistyu Matematichni vlastivostiU comu rozdili funkciya Vignera poznachena literoyu P P x p dijsna funkciya Rozpodili jmovirnosti po x i p zadayutsya integralami d p P x p ps x 2 x r x displaystyle int limits infty infty dp P x p psi x 2 langle x hat rho x rangle d x P x p ϕ p 2 p r p displaystyle int limits infty infty dx P x p phi p 2 langle p hat rho p rangle d x d p P x p T r r displaystyle int limits infty infty dx int limits infty infty dp P x p Tr hat rho Zazvichaj slid r displaystyle rho dorivnyuye 1 1 i 2 maye na uvazi sho P x p vid yemna de nebud za vinyatkom kogerentnogo stanu i zmishanih kogerentnih staniv i P x p maye nastupni dzerkalni simetriyi Chasova simetriya ps x ps x P x p P x p displaystyle psi x rightarrow psi x Rightarrow P x p rightarrow P x p Prostorova simetriya ps x ps x P x p P x p displaystyle psi x rightarrow psi x Rightarrow P x p rightarrow P x p P x p invariant vidnosno peretvoren Galileya ps x ps x y P x p P x y p displaystyle psi x rightarrow psi x y Rightarrow P x p rightarrow P x y p Funkciya Vignera ne invariantna vidnosno peretvoren Lorenca Rivnyannya ruhu dlya kozhnoyi tochki v fazovomu prostori za vidsutnosti sil P x p t p m P x p x displaystyle frac partial P x p partial t frac p m frac partial P x p partial x Perekrittya staniv obrahovuyetsya yak ps 8 2 2 p ℏ d x d p P ps x p P 8 x p displaystyle langle psi theta rangle 2 2 pi hbar int limits infty infty dx int limits infty infty dp P psi x p P theta x p Operatori i seredni znachennya obrahovuyutsya yak A x p d y x y 2 A x y 2 e i p y ℏ displaystyle A x p int limits infty infty dy langle x y 2 hat A x y 2 rangle e ipy hbar ps A ps T r r A d x d p P x p A x p displaystyle langle psi hat A psi rangle Tr hat rho hat A int limits infty infty dx int limits infty infty dpP x p A x p Dlya togo shob P x p reprezentuvala fizichni matrici gustini neobhidno d x d p P x p P 8 x p 0 displaystyle int limits infty infty dx int limits infty infty dp P x p P theta x p geq 0 de 8 displaystyle theta rangle Vimiryuvannya funkciyi VigneraTomografiyaDzherelaFejnman R 1978 Statisticheskaya mehanika Moskva Mir http gerdbreitenbach de gallery