Майже проста група

Кажуть, що група майже проста, якщо вона містить неабелеву просту групу і міститься в групі автоморфізмів цієї простої групи. У символьному записі група A майже проста, якщо існує проста група S, така, що ${\displaystyle S\leq A\leq \operatorname {Aut} (S)}$.

Приклади

• Тривіально, неабелеві прості групи та повні групи автоморфізмів майже прості, але є приклади майже простих груп, які не є ні простими, ні повними групами автоморфізмів.
• Для ${\displaystyle n=5}$ або ${\displaystyle n\geqslant 7}$ симетрична група ${\displaystyle S_{n}}$ є групою автоморфізмів простої знакозмінної групи ${\displaystyle A_{n},}$ так що ${\displaystyle S_{n}}$ є майже простою в цьому тривіальному сенсі.
• Для ${\displaystyle n=6}$ існує гарний приклад, оскільки, ${\displaystyle S_{6}}$ міститься точно між простою групою ${\displaystyle A_{6}}$ і ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}),}$ внаслідок ^[en] групи ${\displaystyle A_{6}}$. Дві інші групи, група Матьє ${\displaystyle M_{10}}$ і проєктивна повна лінійна група ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{2}(9)}$, також містяться точно між ${\displaystyle A_{6}}$ і ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A_{6}).}$

Властивості

Група автоморфізмів неабелевої простої групи є повною групою (відображення суміжних класів є ізоморфізмом у групу автоморфізмів), але власна підгрупа повної групи автоморфізмів не обов'язково повна.

Структура

Згідно з ^[en], нині повсюдно прийнятою як наслідок класифікації простих скінченних груп, ^[en] скінченної простої групи розв'язна. Отже, скінченна проста група є розширенням розв'язної групи за простою групою.

Див. також

• ^[en]
• Редуктивна група

Примітки

1. Вдовин, 2007, с. 159.
2. Вдовин, Ревин, 2011, с. 11.

Література

• Вдовин Е. П. Картеровы подгруппы в конечных почти простых группах // Алгебра и логика. — 2007. — Т. 46, вип. 2 (16 червня). — С. 157–216.
• Вдовин Е. П., Ревин Д. О. Теоремы силовского типа // УСПЕХИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК. — 2011. — Т. 66, вип. 5(401) (16 червня). — С. 3–46.

Посилання

• Almost simple group Архівовано серпень 30, 2009 на сайті Wayback Machine. на вікі «Властивості груп» (англ.)