В евклідовій геометрії теорема Масельмана — це властивість деяких кіл, визначених для довільного трикутника.
Формулювання теореми
Нехай дано трикутник з вершинами , і . Нехай , і — вершини трикутника відбиттів , одержуваного дзеркальним відбиттям кожної вершини відносно протилежної сторони. Нехай — центр описаного кола . Розглянемо 3 кола , і , що проходять через точки , і відповідно. Теорема стверджує, що ці три кола Массельмана перетинаються в точці , яка є інверсією відносно описаного навколо кола точки Косніти, яка є ізогональним спряженням центра дев'яти точок трикутника .
Спільна точка є точкою Гільберта трикутника , яка в Енциклопедії центрів трикутника згадана як .
Історія
1939 року теорему запропонували як задачу Масельман (J. R. Musselman) і Горматіг (René Goormaghtigh), а 1941 року вони надали доведення. Узагальнення цього результату сформулював і довів Горматіг.
Узагальнення Горматіга
В узагальненні теореми Масельмана Горматігом коло явно не згадано.
Як і раніше, нехай , і — вершини трикутника , і — центр описаного кола. Нехай — ортоцентр трикутника , тобто перетин трьох висот. Нехай , і — три точки на відрізках , і , такі що . Розглянемо 3 прямих , і , перпендикулярних , і , що проходять через точки , і відповідно. Нехай , і — точки перетину перпендикулярів із прямими , і відповідно.
Нойберг (J. Neuberg) 1884 року помітив, що три точки , і лежать на одній прямій . Нехай — проєкція центра описаного кола на пряму , а — точка на , така що . Горматіг довів, що є інверсією відносно описаного навколо трикутника кола ізогонального спряження точки на прямій Ейлера , такої, що .
Примітка
- D. Grinberg (2003) On the Kosnita Point and the Reflection Triangle. Forum Geometricorum, volume 3, pages 105—111
- Weisstein, Eric W. Musselman's Theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(1154) = Gilbert Point. Accessed on 2014-10-08
- J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1939), Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 46, page 601
- J. R. Musselman and R. Goormaghtigh (1941), Solution to Advanced Problem 3928. American Mathematics Monthly, volume 48, pages 281—283
- Jean-Louis Ayme, le point de Kosnitza, page 10. Online document, accessed on 2014-10-05.
- J. Neuberg (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. According to Nguyen, Neuberg also states Goormaghtigh's theorem, but incorrectly.
- Khoa Lu Nguyen (2005), A synthetic proof of Goormaghtigh's generalization of Musselman's theorem. Forum Geometricorum, volume 5, pages 17-20
- Ion Patrascu and Catalin Barbu (2012), Two new proofs of Goormaghtigh theorem. International Journal of Geometry, volume 1, pages=10-19, issn=2247-9880
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V evklidovij geometriyi teorema Maselmana ce vlastivist deyakih kil viznachenih dlya dovilnogo trikutnika Formulyuvannya teoremiTrikutnik T z vershinami A B i C O centr opisanogo kola chervone A B i C tochki simetrichni tochkam A B i C vidnosno protilezhnoyi storoni M tochka peretinu kil Maselmana Zelene kolo kolo dev yati tochok N jogo centr K tochka Kosniti Nehaj dano trikutnik T displaystyle T z vershinami A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C Nehaj A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C vershini trikutnika vidbittiv T displaystyle T oderzhuvanogo dzerkalnim vidbittyam kozhnoyi vershini T displaystyle T vidnosno protilezhnoyi storoni Nehaj O displaystyle O centr opisanogo kola T displaystyle T Rozglyanemo 3 kola S A displaystyle S A S B displaystyle S B i S C displaystyle S C sho prohodyat cherez tochki A O A displaystyle A O A B O B displaystyle B O B i C O C displaystyle C O C vidpovidno Teorema stverdzhuye sho ci tri kola Masselmana peretinayutsya v tochci M displaystyle M yaka ye inversiyeyu vidnosno opisanogo navkolo T displaystyle T kola tochki Kosniti yaka ye izogonalnim spryazhennyam centra dev yati tochok trikutnika T displaystyle T Spilna tochka M displaystyle M ye tochkoyu Gilberta trikutnika T displaystyle T yaka v Enciklopediyi centriv trikutnika zgadana yak X 1157 displaystyle X 1157 Istoriya1939 roku teoremu zaproponuvali yak zadachu Maselman J R Musselman i Gormatig Rene Goormaghtigh a 1941 roku voni nadali dovedennya Uzagalnennya cogo rezultatu sformulyuvav i doviv Gormatig Uzagalnennya GormatigaV uzagalnenni teoremi Maselmana Gormatigom kolo yavno ne zgadano Yak i ranishe nehaj A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C vershini trikutnika T displaystyle T i O displaystyle O centr opisanogo kola Nehaj H displaystyle H ortocentr trikutnika T displaystyle T tobto peretin troh visot Nehaj A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C tri tochki na vidrizkah O A displaystyle OA O B displaystyle OB i O C displaystyle OC taki sho O A O A O B O B O C O C t displaystyle OA OA OB OB OC OC t Rozglyanemo 3 pryamih L A displaystyle L A L B displaystyle L B i L C displaystyle L C perpendikulyarnih O A displaystyle OA O B displaystyle OB i O C displaystyle OC sho prohodyat cherez tochki A displaystyle A B displaystyle B i C displaystyle C vidpovidno Nehaj P A displaystyle P A P B displaystyle P B i P C displaystyle P C tochki peretinu perpendikulyariv iz pryamimi B C displaystyle BC C A displaystyle CA i A B displaystyle AB vidpovidno Nojberg J Neuberg 1884 roku pomitiv sho tri tochki P A displaystyle P A P B displaystyle P B i P C displaystyle P C lezhat na odnij pryamij R displaystyle R Nehaj N displaystyle N proyekciya centra opisanogo kola O displaystyle O na pryamu R displaystyle R a N displaystyle N tochka na O N displaystyle ON taka sho O N O N t displaystyle ON ON t Gormatig doviv sho N displaystyle N ye inversiyeyu vidnosno opisanogo navkolo trikutnika T displaystyle T kola izogonalnogo spryazhennya tochki Q displaystyle Q na pryamij Ejlera O H displaystyle OH takoyi sho Q H Q O 2 t displaystyle QH QO 2t PrimitkaD Grinberg 2003 On the Kosnita Point and the Reflection Triangle Forum Geometricorum volume 3 pages 105 111 Weisstein Eric W Musselman s Theorem angl na sajti Wolfram MathWorld Clark Kimberling 2014 Encyclopedia of Triangle Centers section X 1154 Gilbert Point Accessed on 2014 10 08 J R Musselman and R Goormaghtigh 1939 Advanced Problem 3928 American Mathematics Monthly volume 46 page 601 J R Musselman and R Goormaghtigh 1941 Solution to Advanced Problem 3928 American Mathematics Monthly volume 48 pages 281 283 Jean Louis Ayme le point de Kosnitza page 10 Online document accessed on 2014 10 05 J Neuberg 1884 Memoir sur le Tetraedre According to Nguyen Neuberg also states Goormaghtigh s theorem but incorrectly Khoa Lu Nguyen 2005 A synthetic proof of Goormaghtigh s generalization of Musselman s theorem Forum Geometricorum volume 5 pages 17 20 Ion Patrascu and Catalin Barbu 2012 Two new proofs of Goormaghtigh theorem International Journal of Geometry volume 1 pages 10 19 issn 2247 9880