Формалізм Джонса — математичний апарат для аналізу поляризації світлової хвилі, в якому поляризація задається так званими векторами Джонса, а лінійні оптичні елементи — матрицями Джонса. Формалізм запропонував 1941 року . Формалізм Джонса застосовний для повністю поляризованого світла, для неполяризованого або частково поляризованого світла потрібно використовувати .
Вектор Джонса
Вектор Джонса описує поляризацію світла в пустоті або іншому однорідному ізотропному середовищі за відсутності поглинання, там де світло можна описати поперечною електромагнітною хвилею. Нехай монохроматична плоска хвиля поширюється в позитивному напрямку вздовж осі z і має циклічну частоту ω та хвильовий вектор k = (0,0,k), де хвильове число k = ω/c. Тоді електричне та магнітне поля E та H ортогональні до k в кожній точці; тобто лежать у площині, поперечній відносно напрямку руху. Більш того, H визначається з E поворотом на 90 градусів та множенням на певний коефіцієнт, що залежить від системи одиниць та хвильового імпедансу середовища. Тому при вивченні поляризації достатньо зосередитися на E. Комплексна амплітуда E записується
.
Фізичне значення E визначається дійсною частиною цього вектора, а комплексний множник описує фазу хвилі.
Тоді вектор Джонса визначається як:
Отже вектор Джонса зберігає інформацію про амплітуду та фазу x та y компонент поля.
Сума квадратів абсолютних значень двох компонент вектора Джонса пропорційна інтенсивності світла. Зазвичай її нормують на одиницю в тій точці, звідки починається розрахунок. Зазвичай, також, першу компоненту вектора Джонса покладають дійсним числом. Так відкидається інформація про спільну фазу, яка, втім, потрібна для розрахунку інтерференції з іншими пучками.
Вектори та матриці Джонса означені так, що фаза хвилі задається . При такому означенні збільшення
(або
) відповідає відставання за фазою, а зменшення — опередженню. Наприклад, компонента вектора Джонса
(
) вказує на відставання на
(або 90 градусів) у порівнянні з 1. Застосовуються й інша конвенція (
), що вимагає уважності читача.
Наступна таблиця наводить 6 популярних прикладів вектора Джонса
Поляризація світла | Вектор Джонса | Типове кет-позначення |
Лінійно поляризоване по x звична назва — горизонтальна | ||
Лінійно поляризоване по y звична назва — вертикальна | ||
Лінійно поляризоване під кутом 45° до осі x звична назва — діагональна L+45 | ||
Лінійно поляризоване під кутом −45° до осі x звична назва — антидіагональна L-45 | ||
Кругова поляризація проти годинникової стрілки звична назва — RCP або RHCP | ||
Кругова поляризація за годинниковою стрілкою звична назва — LCP або LHCP |
Загалом будь-який вектор можна записати в кет-нотації як . Застосовуючи сферу Пуанкаре (відому також як сфера Блоха), базові кет вектори (
та
) повинні позначати протилежні кет-вектори з перерахованих пар. Наприклад, можна позначити
=
та
=
. Вибір тут довільний. Протилежні пари:
та
та
та
Будь-яку поляризацію, що не збігається з або
і не належить колу, що проходить через
, називають еліптичною.
Матриці Джонса
Матрицями Джонса називають оператори, що діють на вектори Джонса. Їх визначають для різних оптичних елементів: лінз, дільників пучків, дзеркал тощо. Кожна матриця є проєкцією на одновимірний комплексний простір векторів Джонса. В наступній таблиці наведено приклади матриць Джонса для поляризаторів:
Оптичний елемент | Матриця Джонса |
Лінійний поляризатор з горизонтальною віссю пропускання |
|
Лінійний поляризатор з вертикальною віссю пропускання |
|
Лінійний поляризатор з віссю пропускання під кутом ±45° до горизонтальної |
|
Правозакручений круговий поляризатор |
|
Лівозакручений круговий поляризатор |
|
Маніпулювання фазою
Фазові перетворювачі вносять зміну в різницю фаз між вертикальною та горизонтальною поляризаціями, управляючи так поляризацією пучка. Зазвичай їх виготовляють з одновісних кристалів із подвійним променезаломленням, таких як кальцит, MgF2 або кварц. Одновісні кристали мають одну з кристалічних осей, відмінну від двох інших (тобто, ni ≠ nj = nk). Цю вісь називають незвичайною або оптичною. Оптична вісь може бути швидкою або повільною, залежно від кристалу. Світло поширюється з найвищою фазовою швидкість уздовж осі з найменшим показником заломлення, і цю вісь називають швидкою. Аналогічно, вісь із найбільшим показником заломлення називається повільною. «Негативні» одновісні кристали (наприклад, кальцит CaCO3, сапфір Al2O3) мають ne < no, тож для цих кристалів незвичайна (оптична) вісь є швидкою, тоді як «позитивні» одновісні кристали (наприклад, кварц SiO2, MgF2, рутил TiO2) мають ne > n o, і незвичайна вісь у них є повільною.
Перетворювач фази з швидкою віссю, що збігається з осями x або y, має нульові недіагональні члени, а тому його можна відобразити матрицею
де та
— фази електричного поля в напрямках
та
, відповідно. У цій конвенції
задає відносну фазу між двома хвилями як
. Тоді додатне значення
(тобто
>
) означає, що
не матиме те ж значення, що
ще деякий час, тобто
веде
. Аналогічно, якщо
, то
веде
. Наприклад, якщо швидка вісь чвертьхвильової пластинки горизонтальна, фазова швидкість горизонтальної поляризації буде опереджати фазову швидкість вертикальної поляризації, тобто
веде
. Тож
, що для чвертьхвильової пластинки дає
.
Альтернативна конвенція для фази: , визначає відносну фазу як
. Тоді
означає, що
ще деякий час не матиме того ж значення, що
, тобто
опереджає
.
Елемент | Матриця Джонса |
---|---|
чвертьхвильова пластинка з вертикальною швидкою віссю |
|
чвертьхвильова пластинка з горизонтальною швидкою віссю |
|
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом |
|
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом |
|
Довільний матеріал з подвійним заломленням (як фазовий перетворювач) |
|
Примітки
- Множник
з'являється тільки тоді, коли визначити фазову затримку симетрично; тобто,
. Таке визначення використовує книга, але не книга
Виноски
- Fowles, G. (1989). Introduction to Modern Optics (вид. 2nd). Dover. с. 35.
- Hecht, E. (2001). Optics (вид. 4th). с. 378. ISBN .
- Gerald, A.; Burch, J.M. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (вид. 1st). John Wiley & Sons. ISBN .
- Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, , Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Formalizm Dzhonsa matematichnij aparat dlya analizu polyarizaciyi svitlovoyi hvili v yakomu polyarizaciya zadayetsya tak zvanimi vektorami Dzhonsa a linijni optichni elementi matricyami Dzhonsa Formalizm zaproponuvav 1941 roku Formalizm Dzhonsa zastosovnij dlya povnistyu polyarizovanogo svitla dlya nepolyarizovanogo abo chastkovo polyarizovanogo svitla potribno vikoristovuvati Vektor DzhonsaVektor Dzhonsa opisuye polyarizaciyu svitla v pustoti abo inshomu odnoridnomu izotropnomu seredovishi za vidsutnosti poglinannya tam de svitlo mozhna opisati poperechnoyu elektromagnitnoyu hvileyu Nehaj monohromatichna ploska hvilya poshiryuyetsya v pozitivnomu napryamku vzdovzh osi z i maye ciklichnu chastotu w ta hvilovij vektor k 0 0 k de hvilove chislo k w c Todi elektrichne ta magnitne polya E ta H ortogonalni do k v kozhnij tochci tobto lezhat u ploshini poperechnij vidnosno napryamku ruhu Bilsh togo H viznachayetsya z E povorotom na 90 gradusiv ta mnozhennyam na pevnij koeficiyent sho zalezhit vid sistemi odinic ta hvilovogo impedansu seredovisha Tomu pri vivchenni polyarizaciyi dostatno zosereditisya na E Kompleksna amplituda E zapisuyetsya E x t E y t 0 E 0 x e i k z w t ϕ x E 0 y e i k z w t ϕ y 0 E 0 x e i ϕ x E 0 y e i ϕ y 0 e i k z w t displaystyle begin pmatrix E x t E y t 0 end pmatrix begin pmatrix E 0x e i kz omega t phi x E 0y e i kz omega t phi y 0 end pmatrix begin pmatrix E 0x e i phi x E 0y e i phi y 0 end pmatrix e i kz omega t Fizichne znachennya E viznachayetsya dijsnoyu chastinoyu cogo vektora a kompleksnij mnozhnik opisuye fazu hvili Todi vektor Dzhonsa viznachayetsya yak E 0 x e i ϕ x E 0 y e i ϕ y displaystyle begin pmatrix E 0x e i phi x E 0y e i phi y end pmatrix Otzhe vektor Dzhonsa zberigaye informaciyu pro amplitudu ta fazu x ta y komponent polya Suma kvadrativ absolyutnih znachen dvoh komponent vektora Dzhonsa proporcijna intensivnosti svitla Zazvichaj yiyi normuyut na odinicyu v tij tochci zvidki pochinayetsya rozrahunok Zazvichaj takozh pershu komponentu vektora Dzhonsa pokladayut dijsnim chislom Tak vidkidayetsya informaciya pro spilnu fazu yaka vtim potribna dlya rozrahunku interferenciyi z inshimi puchkami Vektori ta matrici Dzhonsa oznacheni tak sho faza hvili zadayetsya ϕ k z w t displaystyle phi kz omega t Pri takomu oznachenni zbilshennya ϕ x displaystyle phi x abo ϕ y displaystyle phi y vidpovidaye vidstavannya za fazoyu a zmenshennya operedzhennyu Napriklad komponenta vektora Dzhonsa i displaystyle i e i p 2 displaystyle e i pi 2 vkazuye na vidstavannya na p 2 displaystyle pi 2 abo 90 gradusiv u porivnyanni z 1 Zastosovuyutsya j insha konvenciya ϕ w t k z displaystyle phi omega t kz sho vimagaye uvazhnosti chitacha Nastupna tablicya navodit 6 populyarnih prikladiv vektora Dzhonsa Polyarizaciya svitla Vektor Dzhonsa Tipove ket poznachennya Linijno polyarizovane po x zvichna nazva gorizontalna 1 0 displaystyle begin pmatrix 1 0 end pmatrix H displaystyle H rangle Linijno polyarizovane po y zvichna nazva vertikalna 0 1 displaystyle begin pmatrix 0 1 end pmatrix V displaystyle V rangle Linijno polyarizovane pid kutom 45 do osi x zvichna nazva diagonalna L 45 1 2 1 1 displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix D 1 2 H V displaystyle D rangle frac 1 sqrt 2 H rangle V rangle Linijno polyarizovane pid kutom 45 do osi x zvichna nazva antidiagonalna L 45 1 2 1 1 displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix A 1 2 H V displaystyle A rangle frac 1 sqrt 2 H rangle V rangle Krugova polyarizaciya proti godinnikovoyi strilki zvichna nazva RCP abo RHCP 1 2 1 i displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 i end pmatrix R 1 2 H i V displaystyle R rangle frac 1 sqrt 2 H rangle i V rangle Krugova polyarizaciya za godinnikovoyu strilkoyu zvichna nazva LCP abo LHCP 1 2 1 i displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 i end pmatrix L 1 2 H i V displaystyle L rangle frac 1 sqrt 2 H rangle i V rangle Zagalom bud yakij vektor mozhna zapisati v ket notaciyi yak ps displaystyle psi rangle Zastosovuyuchi sferu Puankare vidomu takozh yak sfera Bloha bazovi ket vektori 0 displaystyle 0 rangle ta 1 displaystyle 1 rangle povinni poznachati protilezhni ket vektori z pererahovanih par Napriklad mozhna poznachiti 0 displaystyle 0 rangle H displaystyle H rangle ta 1 displaystyle 1 rangle V displaystyle V rangle Vibir tut dovilnij Protilezhni pari H displaystyle H rangle ta V displaystyle V rangle D displaystyle D rangle ta A displaystyle A rangle R displaystyle R rangle ta L displaystyle L rangle Bud yaku polyarizaciyu sho ne zbigayetsya z R displaystyle R rangle abo L displaystyle L rangle i ne nalezhit kolu sho prohodit cherez H D V A displaystyle H rangle D rangle V rangle A rangle nazivayut eliptichnoyu Matrici DzhonsaMatricyami Dzhonsa nazivayut operatori sho diyut na vektori Dzhonsa Yih viznachayut dlya riznih optichnih elementiv linz dilnikiv puchkiv dzerkal tosho Kozhna matricya ye proyekciyeyu na odnovimirnij kompleksnij prostir vektoriv Dzhonsa V nastupnij tablici navedeno prikladi matric Dzhonsa dlya polyarizatoriv Optichnij element Matricya Dzhonsa Linijnij polyarizator z gorizontalnoyu vissyu propuskannya 1 0 0 0 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end pmatrix Linijnij polyarizator z vertikalnoyu vissyu propuskannya 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 1 end pmatrix Linijnij polyarizator z vissyu propuskannya pid kutom 45 do gorizontalnoyi 1 2 1 1 1 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp pm 1 pm 1 amp 1 end pmatrix Pravozakruchenij krugovij polyarizator 1 2 1 i i 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp i i amp 1 end pmatrix Livozakruchenij krugovij polyarizator 1 2 1 i i 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp i i amp 1 end pmatrix Manipulyuvannya fazoyuFazovi peretvoryuvachi vnosyat zminu v riznicyu faz mizh vertikalnoyu ta gorizontalnoyu polyarizaciyami upravlyayuchi tak polyarizaciyeyu puchka Zazvichaj yih vigotovlyayut z odnovisnih kristaliv iz podvijnim promenezalomlennyam takih yak kalcit MgF2 abo kvarc Odnovisni kristali mayut odnu z kristalichnih osej vidminnu vid dvoh inshih tobto ni nj nk Cyu vis nazivayut nezvichajnoyu abo optichnoyu Optichna vis mozhe buti shvidkoyu abo povilnoyu zalezhno vid kristalu Svitlo poshiryuyetsya z najvishoyu fazovoyu shvidkist uzdovzh osi z najmenshim pokaznikom zalomlennya i cyu vis nazivayut shvidkoyu Analogichno vis iz najbilshim pokaznikom zalomlennya nazivayetsya povilnoyu Negativni odnovisni kristali napriklad kalcit CaCO3 sapfir Al2O3 mayut ne lt no tozh dlya cih kristaliv nezvichajna optichna vis ye shvidkoyu todi yak pozitivni odnovisni kristali napriklad kvarc SiO2 MgF2 rutil TiO2 mayut ne gt n o i nezvichajna vis u nih ye povilnoyu Peretvoryuvach fazi z shvidkoyu vissyu sho zbigayetsya z osyami x abo y maye nulovi nediagonalni chleni a tomu jogo mozhna vidobraziti matriceyu e i ϕ x 0 0 e i ϕ y displaystyle begin pmatrix e i phi x amp 0 0 amp e i phi y end pmatrix de ϕ x displaystyle phi x ta ϕ y displaystyle phi y fazi elektrichnogo polya v napryamkah x displaystyle x ta y displaystyle y vidpovidno U cij konvenciyi ϕ k z w t displaystyle phi kz omega t zadaye vidnosnu fazu mizh dvoma hvilyami yak ϵ ϕ y ϕ x displaystyle epsilon phi y phi x Todi dodatne znachennya ϵ displaystyle epsilon tobto ϕ y displaystyle phi y gt ϕ x displaystyle phi x oznachaye sho E y displaystyle E y ne matime te zh znachennya sho E x displaystyle E x she deyakij chas tobto E x displaystyle E x vede E y displaystyle E y Analogichno yaksho ϵ lt 0 displaystyle epsilon lt 0 to E y displaystyle E y vede E x displaystyle E x Napriklad yaksho shvidka vis chverthvilovoyi plastinki gorizontalna fazova shvidkist gorizontalnoyi polyarizaciyi bude operedzhati fazovu shvidkist vertikalnoyi polyarizaciyi tobto E x displaystyle E x vede E y displaystyle E y Tozh ϕ x lt ϕ y displaystyle phi x lt phi y sho dlya chverthvilovoyi plastinki daye ϕ y ϕ x p 2 displaystyle phi y phi x pi 2 Alternativna konvenciya dlya fazi ϕ w t k z displaystyle phi omega t kz viznachaye vidnosnu fazu yak ϵ ϕ x ϕ y displaystyle epsilon phi x phi y Todi ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 oznachaye sho E y displaystyle E y she deyakij chas ne matime togo zh znachennya sho E x displaystyle E x tobto E x displaystyle E x operedzhaye E y displaystyle E y Element Matricya Dzhonsa chverthvilova plastinka z vertikalnoyu shvidkoyu vissyu e i p 4 1 0 0 i displaystyle e i pi 4 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp i end pmatrix chverthvilova plastinka z gorizontalnoyu shvidkoyu vissyu e i p 4 1 0 0 i displaystyle e i pi 4 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp i end pmatrix chverthvilova plastinka zi shvidkoyu vissyu pid kutom 8 displaystyle theta do gorizontalnoyi osi e i p 4 cos 2 8 i sin 2 8 1 i sin 8 cos 8 1 i sin 8 cos 8 sin 2 8 i cos 2 8 displaystyle e i pi 4 begin pmatrix cos 2 theta i sin 2 theta amp 1 i sin theta cos theta 1 i sin theta cos theta amp sin 2 theta i cos 2 theta end pmatrix chverthvilova plastinka zi shvidkoyu vissyu pid kutom 8 displaystyle theta do gorizontalnoyi osi e i p 2 cos 2 8 sin 2 8 sin 2 8 cos 2 8 displaystyle e i pi 2 begin pmatrix cos 2 theta amp sin 2 theta sin 2 theta amp cos 2 theta end pmatrix Dovilnij material z podvijnim zalomlennyam yak fazovij peretvoryuvach e i h 2 cos 2 8 e i h 2 sin 2 8 e i h 2 e i h 2 e i ϕ cos 8 sin 8 e i h 2 e i h 2 e i ϕ cos 8 sin 8 e i h 2 sin 2 8 e i h 2 cos 2 8 displaystyle begin pmatrix e i eta 2 cos 2 theta e i eta 2 sin 2 theta amp e i eta 2 e i eta 2 e i phi cos theta sin theta e i eta 2 e i eta 2 e i phi cos theta sin theta amp e i eta 2 sin 2 theta e i eta 2 cos 2 theta end pmatrix PrimitkiMnozhnik e i p 4 displaystyle e i pi 4 z yavlyayetsya tilki todi koli viznachiti fazovu zatrimku simetrichno tobto ϕ x ϕ y p 4 displaystyle phi x phi y pi 4 Take viznachennya vikoristovuye kniga ale ne knigaVinoskiFowles G 1989 Introduction to Modern Optics vid 2nd Dover s 35 Hecht E 2001 Optics vid 4th s 378 ISBN 0805385665 Gerald A Burch J M 1975 Introduction to Matrix Methods in Optics vid 1st John Wiley amp Sons ISBN 0471296856 Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu 76 67 71 1987