Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Парадокс Гільберта про Grand Hotel (великий готель) — це математичний достовірний парадокс (несуперечливе припущення, що є дуже нелогічним) про нескінченні множини, що його представив німецький математик Давид Гільберт (1862—1943). Давид Гільберт розробив цей парадокс в 1920-х роках, щоб проілюструвати таємничі властивості нескінченності. Парадокс полягає в тому, що в повністю заселений нескінченно великий готель можна додатково заселити нескінченну кількість гостей.
Парадокс
Скінченно багато нових гостей
Розглянемо гіпотетичний готель зі зліченно нескінченною кількістю номерів, кожен з яких зайнятий — тобто кожен номер містить гостя. Можна подумати, що готель не в змозі вмістити нових гостей, як було б у випадку зі скінченним числом кімнат.
Нехай новий гість прибуває і хоче бути розміщеним в готелі. Оскільки готель має нескінченно багато кімнат, ми можемо переселити гостя, що займає номер 1, у номер 2, гостя з номера 2 у номер 3 і так далі, і поселити нового гостя в номері 1. Повторюючи цю процедуру, можна звільнити місце для будь-якого зліченного числа нових гостей.
Нескінченно багато нових гостей
Також можливо розмістити «зліченно нескінченне» число нових гостей: просто перемістити гостя, який займає номер 1 у номер 2, гостя, що займає номер 2 в номер 4, гостя з номера 3 в номер 6 і так далі з номера n в номер 2*n, тоді всі непарні номери будуть вільними для нових гостей.
Нескінченно багато автобусів
Можна розмістити у цьому готелі зліченну нескінченність завантажених автобусів, в кожному з яких зліченна нескінченність пасажирів. Можливість зробити це залежить від місць у автобусах, що вже пронумеровані (як альтернативу, менеджер готелю повинен мати аксіому зліченного вибору). Спочатку треба звільнити непарні номери, як зазначено вище, а потім розмістити пасажирів з першого автобуса в кімнати 3n для n = 1, 2, 3, …, пасажирів з другого автобуса в кімнати 5 n для n = 1, 2, … і так далі; для автобуса з номером i ми використовуємо кімнати рN, де р є (i + 1)-ше просте число.
Також можна вирішити задачу за допомогою номерних знаків автобусів і номерів місць для пасажирів (якщо місця не пронумеровані, то потрібно їх пронумерувати). Вважаємо готель у ролі автобуса № 0, а початкові номери кімнат як номери місць у цьому автобусі. Прочергуємо цифри номерів автобусів та номери місць, щоб отримати номери кімнат для гостей. Початковий гість готелю (автобуса № 0) на сидінні (початковий номер) номер 1729 переїжджає до кімнати 01070209 (тобто кімнати 1070209). Те саме робимо для новоприбулих гостей. Пасажир на сидінні 4935 автобуса 198 йде до кімнати 4199385 у готелі.
Загалом будь-яку нумерацію Кантора можна використати для вирішення цієї задачі. Ще один спосіб наблизитися до цього є присвоєння кожному пасажиру номера n, і номера автобуса c в якому він перебуває. Ті, хто вже в готелі, перейдуть до кімнати номер (n2+n)/2, який є n-ним трикутним числом. Ті, що в автобусі номер с перейдуть до кімнати номер ((c+n)2+cn)/2, який є (c+n-1)-ним трикутним числом, плюс (c+n). Таким чином, всі кімнати будуть заповнені одним, і тільки одним гостем (по 1 гостю на кімнату).
Аналіз
Ці випадки показують парадокс не в тому сенсі, що вони демонструють логічне протиріччя, а в тому сенсі, що вони демонструють нелогічний результат, який є правильним через доведення: ситуації «є гість для кожної кімнати» і «надалі гості не можуть розміститися» не є еквівалентними, якщо існує нескінченно багато кімнат (аналогічна ситуація представлена в ).
Дехто вважає, що такий стан речей є дуже нелогічним. Властивості нескінченних «зібрань речей» істотно відрізняються від скінченних зібрань. Парадокс Grand Hotel Гільберта можна зрозуміти за допомогою теорії Кантора про трансфінітні числа. У звичайному (скінченному) готелі з більш ніж однією кімнатою, число непарних кімнат, очевидно, менше, ніж загальна кількість кімнат. Тим не менш, Гільберт, влучно назвавши готель Grand (великий), показав що кількість непарних кімнат не менша, ніж загальне «число» кімнат. У математичних термінах, , що містить непарні номери така ж, як потужність множини всіх номерів. Дійсно, нескінченні множини характеризуються як множини, які мають власні підмножини тієї ж потужності. Для зліченних множин, ця потужність називається 
((алеф-нуль)).
Якщо перефразувати, то для будь-якої зліченно нескінченної множини існує бієктивна функція, яка встановлює відповідність між кожним елементом зліченно нескінченної множини й кожним елементом множини натуральних чисел, навіть якщо зліченно нескінченна множина містить натуральні числа. Наприклад, множина раціональних чисел (це ті числа, які можна записати у вигляді відношення цілих чисел) містить натуральні числа як підмножину, але не є більшою, ніж множина натуральних чисел, оскільки раціональні числа є зліченними. Існує бієкція з натуральних в раціональні числа.
The Grand Hotel Cigar Mystery (таємниця сигар великого готелю)
Ще одну історію про Grand Hotel можна використати, щоб показати, що математична індукція працює тільки починаючи з бази індукції.
Припустимо, що у великому готелі не дозволяють курити, і жодну сигару не можна пронести до готелю. Незважаючи на це, гість з номера 1 йде до гостя в номері 2, щоб отримати сигару. Гість з номера 2 йде до кімнати 3, щоб отримати дві сигари: одну для себе, іншу для гостя в номері 1. Загалом, гість з кімнати n йде в кімнату (n+1), щоб отримати N сигар. Кожен з них повертається, викурює сигару і віддає сигари, що в нього залишились гостю з номера (n-1). Таким чином, попри те, що жодна сигара не була принесена в готель, кожен гість може курити сигару у своїй кімнаті.
Помилковість цієї історії випливає з того факту, що немає ніякої індуктивної точки (базового випадку), з якої можна отримати індукцію. Хоча показано, що якщо гість з кімнати n має n сигар, то і він, і всі гості з меншим номером кімнати можуть палити, не доведено, що будь-який з гостей насправді має сигари, отже, не випливає, що будь-який гість може викурити сигару в готелі. Той факт, що сигари заборонено проносити до готелю, призначений щоб підкреслити помилковість. Хоча, оскільки існує нескінченне число кімнат у готелі, і кожен гість (n) повинен йти до гостя (n+1) за своєю сигарою, цей процес переходу до наступної кімнати ніколи не зупиняється, і взагалі жоден гість не викурює сигару.
Посилання у літературі
- У своєму фантастичному романі [en]» письменник Руді Ракер описує готель, заснований на парадоксі Гільберта, і де головний герой історії зустрічається з Георгом Кантором.
- В центрі роману Марка Данилевського «Будинок з листя» перебуває будинок, що містить нескінченну кількість номерів.
- Науково-фантастичний роман Стівена Бакстера «Трансцендентне» має коротку дискусію на тему нескінченності природи, і пояснення, засноване на парадоксі, модифікованому для використання Зоряного десанту, а не готелів.
- Розповідь Джеффрі Лендіса [en]» використовує готель Гільберта щоб пояснити, чому [en] хоч і є нескінченно повним, однак все ще приймає частинки.
- У романі Петера Хьога «Смілла та її відчуття снігу», титульна героїня зображає як чудово для менеджера готелю і гостей, коли кожен, хто запізнився, може мати свій номер і деяку приватність.
- У короткометражному фільмі Аманди Бойл «Готель Нескінченність» йде мова про готель з нескінченним числом кімнат. Його девіз: «Ми завжди повні, але у нас завжди є місце для вас».
Див. також
Посилання
- Hilbert infinite hotel. M. Hazewinkel. Encyclopedia of Mathematics, Springer. Accessed May 25, 2007.
- Nancy Casey, — The paradox told as a humorous narrative, featuring a hotel owner and a building contractor based on the feuding 19th-century mathematicians Georg Cantor and Leopold Kronecker
- Steven Strogatz, The Hilbert Hotel, NY Times, May 9, 2010
- Hilbert's Infinite Hotel, h2g2
- The Hilbert Hotel — YouTube presentation
- «Beyond the Finite» [ 12 липня 2019 у Wayback Machine.]
- see song on p. 704 of the October 2006 American Mathematical Monthly or p. 177 of the Dec. 2011 Journal of Mathematics and the Arts
- The Infinite Hotel Paradox — Jeff Dekofsky — TED-Ed Lessons
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Paradoks Gilberta pro Grand Hotel velikij gotel ce matematichnij dostovirnij paradoks nesuperechlive pripushennya sho ye duzhe nelogichnim pro neskinchenni mnozhini sho jogo predstaviv nimeckij matematik David Gilbert 1862 1943 David Gilbert rozrobiv cej paradoks v 1920 h rokah shob proilyustruvati tayemnichi vlastivosti neskinchennosti Paradoks polyagaye v tomu sho v povnistyu zaselenij neskinchenno velikij gotel mozhna dodatkovo zaseliti neskinchennu kilkist gostej Ilyustraciya paradoksu z dopomogoyu fraktalivParadoksSkinchenno bagato novih gostej Rozglyanemo gipotetichnij gotel zi zlichenno neskinchennoyu kilkistyu nomeriv kozhen z yakih zajnyatij tobto kozhen nomer mistit gostya Mozhna podumati sho gotel ne v zmozi vmistiti novih gostej yak bulo b u vipadku zi skinchennim chislom kimnat Nehaj novij gist pribuvaye i hoche buti rozmishenim v goteli Oskilki gotel maye neskinchenno bagato kimnat mi mozhemo pereseliti gostya sho zajmaye nomer 1 u nomer 2 gostya z nomera 2 u nomer 3 i tak dali i poseliti novogo gostya v nomeri 1 Povtoryuyuchi cyu proceduru mozhna zvilniti misce dlya bud yakogo zlichennogo chisla novih gostej Neskinchenno bagato novih gostej Takozh mozhlivo rozmistiti zlichenno neskinchenne chislo novih gostej prosto peremistiti gostya yakij zajmaye nomer 1 u nomer 2 gostya sho zajmaye nomer 2 v nomer 4 gostya z nomera 3 v nomer 6 i tak dali z nomera n v nomer 2 n todi vsi neparni nomeri budut vilnimi dlya novih gostej Neskinchenno bagato avtobusiv Mozhna rozmistiti u comu goteli zlichennu neskinchennist zavantazhenih avtobusiv v kozhnomu z yakih zlichenna neskinchennist pasazhiriv Mozhlivist zrobiti ce zalezhit vid misc u avtobusah sho vzhe pronumerovani yak alternativu menedzher gotelyu povinen mati aksiomu zlichennogo viboru Spochatku treba zvilniti neparni nomeri yak zaznacheno vishe a potim rozmistiti pasazhiriv z pershogo avtobusa v kimnati 3n dlya n 1 2 3 pasazhiriv z drugogo avtobusa v kimnati 5 n dlyan 1 2 i tak dali dlya avtobusa z nomerom i mi vikoristovuyemo kimnati rN de r ye i 1 she proste chislo Takozh mozhna virishiti zadachu za dopomogoyu nomernih znakiv avtobusiv i nomeriv misc dlya pasazhiriv yaksho miscya ne pronumerovani to potribno yih pronumeruvati Vvazhayemo gotel u roli avtobusa 0 a pochatkovi nomeri kimnat yak nomeri misc u comu avtobusi Procherguyemo cifri nomeriv avtobusiv ta nomeri misc shob otrimati nomeri kimnat dlya gostej Pochatkovij gist gotelyu avtobusa 0 na sidinni pochatkovij nomer nomer 1729 pereyizhdzhaye do kimnati 01070209 tobto kimnati 1070209 Te same robimo dlya novopribulih gostej Pasazhir na sidinni 4935 avtobusa 198 jde do kimnati 4199385 u goteli Zagalom bud yaku numeraciyu Kantora mozhna vikoristati dlya virishennya ciyeyi zadachi She odin sposib nablizitisya do cogo ye prisvoyennya kozhnomu pasazhiru nomera n i nomera avtobusa c v yakomu vin perebuvaye Ti hto vzhe v goteli perejdut do kimnati nomer n2 n 2 yakij ye n nim trikutnim chislom Ti sho v avtobusi nomer s perejdut do kimnati nomer c n 2 cn 2 yakij ye c n 1 nim trikutnim chislom plyus c n Takim chinom vsi kimnati budut zapovneni odnim i tilki odnim gostem po 1 gostyu na kimnatu AnalizCi vipadki pokazuyut paradoks ne v tomu sensi sho voni demonstruyut logichne protirichchya a v tomu sensi sho voni demonstruyut nelogichnij rezultat yakij ye pravilnim cherez dovedennya situaciyi ye gist dlya kozhnoyi kimnati i nadali gosti ne mozhut rozmistitisya ne ye ekvivalentnimi yaksho isnuye neskinchenno bagato kimnat analogichna situaciya predstavlena v Dehto vvazhaye sho takij stan rechej ye duzhe nelogichnim Vlastivosti neskinchennih zibran rechej istotno vidriznyayutsya vid skinchennih zibran Paradoks Grand Hotel Gilberta mozhna zrozumiti za dopomogoyu teoriyi Kantora pro transfinitni chisla U zvichajnomu skinchennomu goteli z bilsh nizh odniyeyu kimnatoyu chislo neparnih kimnat ochevidno menshe nizh zagalna kilkist kimnat Tim ne mensh Gilbert vluchno nazvavshi gotel Grand velikij pokazav sho kilkist neparnih kimnat ne mensha nizh zagalne chislo kimnat U matematichnih terminah sho mistit neparni nomeri taka zh yak potuzhnist mnozhini vsih nomeriv Dijsno neskinchenni mnozhini harakterizuyutsya yak mnozhini yaki mayut vlasni pidmnozhini tiyeyi zh potuzhnosti Dlya zlichennih mnozhin cya potuzhnist nazivayetsya ℵ 0 displaystyle aleph 0 alef nul Yaksho perefrazuvati to dlya bud yakoyi zlichenno neskinchennoyi mnozhini isnuye biyektivna funkciya yaka vstanovlyuye vidpovidnist mizh kozhnim elementom zlichenno neskinchennoyi mnozhini j kozhnim elementom mnozhini naturalnih chisel navit yaksho zlichenno neskinchenna mnozhina mistit naturalni chisla Napriklad mnozhina racionalnih chisel ce ti chisla yaki mozhna zapisati u viglyadi vidnoshennya cilih chisel mistit naturalni chisla yak pidmnozhinu ale ne ye bilshoyu nizh mnozhina naturalnih chisel oskilki racionalni chisla ye zlichennimi Isnuye biyekciya z naturalnih v racionalni chisla The Grand Hotel Cigar Mystery tayemnicya sigar velikogo gotelyu She odnu istoriyu pro Grand Hotel mozhna vikoristati shob pokazati sho matematichna indukciya pracyuye tilki pochinayuchi z bazi indukciyi Pripustimo sho u velikomu goteli ne dozvolyayut kuriti i zhodnu sigaru ne mozhna pronesti do gotelyu Nezvazhayuchi na ce gist z nomera 1 jde do gostya v nomeri 2 shob otrimati sigaru Gist z nomera 2 jde do kimnati 3 shob otrimati dvi sigari odnu dlya sebe inshu dlya gostya v nomeri 1 Zagalom gist z kimnati n jde v kimnatu n 1 shob otrimati N sigar Kozhen z nih povertayetsya vikuryuye sigaru i viddaye sigari sho v nogo zalishilis gostyu z nomera n 1 Takim chinom popri te sho zhodna sigara ne bula prinesena v gotel kozhen gist mozhe kuriti sigaru u svoyij kimnati Pomilkovist ciyeyi istoriyi viplivaye z togo faktu sho nemaye niyakoyi induktivnoyi tochki bazovogo vipadku z yakoyi mozhna otrimati indukciyu Hocha pokazano sho yaksho gist z kimnati n maye n sigar to i vin i vsi gosti z menshim nomerom kimnati mozhut paliti ne dovedeno sho bud yakij z gostej naspravdi maye sigari otzhe ne viplivaye sho bud yakij gist mozhe vikuriti sigaru v goteli Toj fakt sho sigari zaboroneno pronositi do gotelyu priznachenij shob pidkresliti pomilkovist Hocha oskilki isnuye neskinchenne chislo kimnat u goteli i kozhen gist n povinen jti do gostya n 1 za svoyeyu sigaroyu cej proces perehodu do nastupnoyi kimnati nikoli ne zupinyayetsya i vzagali zhoden gist ne vikuryuye sigaru Posilannya u literaturiU svoyemu fantastichnomu romani en pismennik Rudi Raker opisuye gotel zasnovanij na paradoksi Gilberta i de golovnij geroj istoriyi zustrichayetsya z Georgom Kantorom V centri romanu Marka Danilevskogo Budinok z listya perebuvaye budinok sho mistit neskinchennu kilkist nomeriv Naukovo fantastichnij roman Stivena Bakstera Transcendentne maye korotku diskusiyu na temu neskinchennosti prirodi i poyasnennya zasnovane na paradoksi modifikovanomu dlya vikoristannya Zoryanogo desantu a ne goteliv Rozpovid Dzheffri Lendisa en vikoristovuye gotel Gilberta shob poyasniti chomu en hoch i ye neskinchenno povnim odnak vse she prijmaye chastinki U romani Petera Hoga Smilla ta yiyi vidchuttya snigu titulna geroyinya zobrazhaye yak chudovo dlya menedzhera gotelyu i gostej koli kozhen hto zapiznivsya mozhe mati svij nomer i deyaku privatnist U korotkometrazhnomu filmi Amandi Bojl Gotel Neskinchennist jde mova pro gotel z neskinchennim chislom kimnat Jogo deviz Mi zavzhdi povni ale u nas zavzhdi ye misce dlya vas Div takozhParadoks Banaha Tarskogo Paradoks Galileya Princip DirihlePosilannyaHilbert infinite hotel M Hazewinkel Encyclopedia of Mathematics Springer Accessed May 25 2007 Nancy Casey The paradox told as a humorous narrative featuring a hotel owner and a building contractor based on the feuding 19th century mathematicians Georg Cantor and Leopold Kronecker Steven Strogatz The Hilbert Hotel NY Times May 9 2010 Hilbert s Infinite Hotel h2g2 The Hilbert Hotel YouTube presentation Beyond the Finite 12 lipnya 2019 u Wayback Machine see song on p 704 of the October 2006 American Mathematical Monthly or p 177 of the Dec 2011 Journal of Mathematics and the Arts The Infinite Hotel Paradox Jeff Dekofsky TED Ed Lessons