Категорія добутку категорія що отримується з початкових категорій за допомогою їх добутку операції що узагальнює поняття

Категорія добутку — категорія, що отримується з початкових категорій за допомогою їх добутку — операції, що узагальнює поняття декартового добутку множин.

Визначення

Категорію добутку $C \times D$ визначають так:

об'єкти:
пари об'єктів $(A, B)$ , де $A$ — об'єкт $C$ і $B$ — об'єкт $D$ ;
морфізми з $(A 1, B 1)$ в $(A 2, B 2)$ :
пари морфізмів $(f, g)$ , де $f : A 1 \to A 2$ — морфізм у $C$ і $g : B 1 \to B 2$ — в $D$ ;
правила композицій морфізмів:
$(f 2, g 2) o (f 1, g 1) = (f 2 o f 1, g 2 o g 1)$ ;
тотожні морфізми:
$1 (A, B) = (1 A, 1 B)$ .

Як і для множин, визначення тривіально узагальнюється на добуток $n$ категорій. Операція добутку комутативна та асоціативна, з точністю до ізоморфізму.

Зв'язок з іншими категоріями

Функтор, область визначення якого — категорія добутку, називають біфунктором. Один з найважливіших функторів такого типу — функтор Hom.

Література

Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 43—67. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.