Симетричність (відношеня)

Властивості бінарних відношень:
${\displaystyle \forall a,b,c\;\in {X}:}$

рефлексивність ${\displaystyle (aRa)\!}$
антирефлексивність ${\displaystyle \lnot (aRa)\!}$

симетричність ${\displaystyle aRb\Rightarrow bRa\!}$
асиметричність ${\displaystyle aRb\;\Rightarrow \lnot (bRa)}$

антисиметричність ${\displaystyle aRb\wedge bRa\Rightarrow a=b}$

транзитивність ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow aRc}$
(антитранзитивність) ${\displaystyle aRb\wedge bRc\Rightarrow \lnot (aRc)}$

повнота ${\displaystyle aRb\vee bRa\!}$

Бінарне відношення R на множині називається симетричним, якщо для кожної пари елементів множини (a,b ) виконання відношення (aRb) спричиняє виконання відношення (bRa ).

В математиці бінарне відношення R на множині X є симетричним, якщо для будь-яких a та b з X з того, що a знаходиться у відношенні з b, випливає, що b знаходиться у відношенні з a.

Формально:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\Rightarrow \;bRa}$

Приклади

Відношення "бути зарученим" є симетричним відношенням, а відношення "менше" - ні.

Рівність множини цілих дійсних чисел 

Звичайна рівність «=» на множині цілих дійсних чисел є симетричною, якщо з a = b випливає b = a. Воно також є відношенням еквівалентності. Не рівне співвідношення на множині цілих чисел при цьому не є відношенням еквівалентності, хоча й так само є симетричним, тому що з a ≠ b випливає b ≠ a.

Подібність трикутників 

Якщо трикутник ABC подібний до трикутника DEF, то трикутник DEF подібний до трикутника ABC. Відношення подоби трикутників є симетричним.Воно також є відношенням еквівалентності.

Рівність по модулю n 

На множині цілих чисел задамо відношення "рівність по модулю n" у такий спосіб: два числа рівні по модулю n, якщо їхні залишки при діленні на n рівні. Наприклад, по модулю 5 рівні числа 2, 7, 12 і т.д. Це співвідношення є симетричним. Воно також є відношенням еквівалентності.

Властивості зворотнього відношення 

Відношення R на множині М називається симетричним, якщо це відношення з кожною парою (х,y) містить пари (y,х). Матриця такого відношення буде симетрична щодо головної діагоналі. Приклад: ‘=’,’≠’. Не є комутативним: ‘<=’,’>=’. Відношення симетрично тоді й тільки тоді, коли воно збігається зі своїм зворотнім відношенням: ${\displaystyle R^{-1}}$

Властивості

Симетричність не є оберненою до антисиметричності.

Існують відношення, які одночасно є симетричними та антисиметричними: "дорівнює" (" ${\displaystyle =\!}$ ").

Існують відношення які не є ані симетричними, ані антисиметричними:

Існують відношення, які є симетричними, але не антисиметричними: відношення подібності (конгруенція).

Існують відношення, які не є симетричними, але антисиметричні: "менше або дорівнює" (" ${\displaystyle \leq \!}$ ").

Симетричне відношення, яке є також транзитивним та рефлексивним називається відношенням еквівалентності.

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)