Характеристичний поліном квадратної матриці розміру — це многочлен степеня від змінної який дорівнює
- , де — одинична матриця порядку .
Мотивація
Скаляр є власним значенням матриці A для власного вектора
тоді і тільки тоді коли:
чи
Оскільки то
повинна бути виродженою, а отже:
.
Властивості
- Неважко переконатися, що
- Для матриць елементи яких комутативними є
-алгебрами, характеристичний многочлен можна записати як:
- де
— многочлени із раціональними коефіцієнтами, що описують залежність елементарних симетричних многочленів від степеневих симетричних многочленів у тотожностях Ньютона (тобто
)
- Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:
- Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:
- Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):
Характеристичне рівняння
Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння
Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці
Тільки вони є власними значеннями матриці
Див. також
Джерела
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Harakteristichnij polinom kvadratnoyi matrici A displaystyle A rozmiru n n displaystyle n times n ce mnogochlen stepenya n displaystyle n vid zminnoyi l displaystyle lambda yakij dorivnyuye pA l det A Inl displaystyle p A lambda det A I n lambda de In displaystyle I n odinichna matricya poryadku n displaystyle n MotivaciyaSkalyar l displaystyle lambda ye vlasnim znachennyam matrici A dlya vlasnogo vektora v displaystyle mathbf v todi i tilki todi koli Av lv displaystyle A mathbf v lambda mathbf v chi lIn A v 0 displaystyle lambda I n A mathbf v 0 Oskilki v 0 displaystyle mathbf v neq 0 to lIn A displaystyle lambda I n A povinna buti virodzhenoyu a otzhe det lIn A 0 displaystyle det lambda I n A 0 VlastivostiNevazhko perekonatisya shopA l ln tr Aln 1 1 ndetA displaystyle p A lambda lambda n operatorname tr A lambda n 1 ldots 1 n det A Dlya matric elementi yakih komutativnimi ye Q displaystyle mathbb Q algebrami harakteristichnij mnogochlen mozhna zapisati yak pA l i 0n 1 iqn i tr A tr A2 tr An i li displaystyle p A lambda sum i 0 n 1 i q n i Bigl operatorname tr A operatorname tr A 2 ldots operatorname tr A n i Bigr lambda i de qn i displaystyle q n i mnogochleni iz racionalnimi koeficiyentami sho opisuyut zalezhnist elementarnih simetrichnih mnogochleniv vid stepenevih simetrichnih mnogochleniv u totozhnostyah Nyutona tobto ej qj p1 pj displaystyle e j q j p 1 p j Harakteristichni polinomi podibnih matric zbigayutsya pB 1AB l pA l displaystyle p B 1 AB lambda p A lambda Harakteristichni polinomi dobutku kvadratnih matric ne zalezhat vid poryadku mnozhnikiv pBA l pAB l displaystyle p BA lambda p AB lambda Harakteristichnij polinom vid samoyi matrici dorivnyuye nulovij matrici teorema Gamiltona Keli pA A 0 displaystyle p A A 0 Harakteristichne rivnyannyaHarakteristichnim rivnyannyam abo sekulyarnim rivnyannyam nazivayetsya rivnyannya pA l det lIn A 0 displaystyle p A lambda det lambda I n A 0 Koreni harakteristichnogo polinoma nazivayutsya harakteristichnimi chislami matrici A displaystyle A Tilki voni ye vlasnimi znachennyami matrici A displaystyle A Div takozhViznachnik matrici Slid matriciDzherelaGantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros Gelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros