Дужка Лі векторних полів

В диференціальній геометрії дужками Лі векторних полів або комутатором векторних полів називається оператор, що для двох векторних полів X і Y на гладкому многовиді M, визначає третє векторне поле, що позначається як [X, Y].

Векторне поле [X,Y] можна визначити як похідну поля Y в напрямку потоку визначеного полем X. Узагальненням дужки Лі є похідна Лі, яка є диференціюванням тензорного поля в напрямку потоку векторного поля X.

Дужки Лі є білінійним оператором і простір векторних полів на многовиді разом з цією операцією є нескінченновимірною алгеброю Лі.

Дужки Лі відіграють значну роль в диференціальній геометрії і диференціальній топології.

Визначення

Дужки Лі векторних полів можна визначити кількома еквівалентними способами:

Векторні поля як диференціювання

Векторне поле X на гладкому многовиді M можна визначити як оператор диференціювання на множині гладких функцій визначених на M (деталі у статтях дотичний простір і дотичний вектор). Окрім цього кожен оператор диференціювання задається через однозначно визначене векторне поле. Для гладких векторного поля X і функції f значення X(f) теж є гладкою функцією і тому для векторного поля Y має зміст вираз Y(X(f)). Дужка Лі, [X,Y], для векторних полів X і Y визначається як

${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)),\;\;\forall f\in C^{\infty }(M).}$

Визначений так оператор [X,Y] є диференціюванням. Адитивність є очевидною, а правило добутку отримується з рівностей:

${\displaystyle {\begin{aligned}[][X,Y](fg)=&X(Y(fg))-Y(X(fg))=X(fY(g))+X(gY(f))-Y(fX(g))-Y(gX(f))=\\&fX(Y(g))+X(f)Y(g)+X(g)Y(f)+gX(Y(f))-fY(X(g))-Y(f)X(g)-Y(g)X(f)-gY(X(f))=\\&f[X,Y](g)+g[X,Y](f).\end{aligned}}}$

Відповідно [X,Y] є гладким векторним полем.

Потоки і границі

Нехай ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ потік для векторного поля X, а d позначатиме диференціал відображення. Тоді дужка Лі векторних полів X і Y в точці p∈M може бути визначена як

${\displaystyle [X,Y]_{p}:=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}{t}}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{\Phi _{-t}^{X}(p)}}$

або еквівалентно:

${\displaystyle [X,Y]_{p}:=\left.{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {dt} ^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(p)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{Y}\circ \Phi _{\sqrt {t}}^{X})(p)}$

Для доведення еквівалентності двох означень, спершу слід зауважити, що якщо ${\displaystyle f(t,p)}$ є функцією на ${\displaystyle I_{\varepsilon }\times M}$, де ${\displaystyle I_{\varepsilon }}$ є відкритий інтервал ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$ і ${\displaystyle f(0,p)=0}$ для всіх ${\displaystyle p\in M}$, то функція ${\displaystyle g(t,p)=\int _{0}^{1}f'(ts,p)ds}$ задовольняє властивості ${\displaystyle f(t,p)=t\cdot g(t,p)}$ і ${\displaystyle g(0,p)=f'(0,p),}$ де використані позначення ${\displaystyle f'=df/dt}$, для ${\displaystyle p\in M}$.

Звідси випливає, що якщо ${\displaystyle \Phi _{t}^{X}}$ є потоком векторного поля X то для будь-якої функції f на М існує функція ${\displaystyle g_{t}(p)=g(t,p)}$ така, що ${\displaystyle f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}}$ і ${\displaystyle g_{0}=Xf}$. Ця функція визначається для кожного фіксованого ${\displaystyle p\in M}$ для ${\displaystyle |t|<\varepsilon }$ для деякого ${\displaystyle \varepsilon }$. Дійсно, якщо ввести функцію ${\displaystyle F(t,p)=f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)}$ то ${\displaystyle f(0,p)=0}$ для всіх ${\displaystyle p\in M}$ і з попереднього існує функція ${\displaystyle g_{t}(p)=g(t,p)}$ для якої ${\displaystyle f\circ \Phi _{t}^{X}=f+tg_{t}}$ і

${\displaystyle Xf(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\Phi _{t}^{X}(p))-f(p)}{t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {F(t,p)}{t}}=\lim _{t\to 0}g_{t}(p)=g_{0}(p).}$

Позначимо тепер ${\displaystyle p(t)=\Phi _{-t}^{X}(p)}$. Тоді

${\displaystyle ((\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y)_{p}f=Y(f\circ \Phi _{t}^{X})_{p(t)}=Y_{p(t)}f+tY_{p(t)}g_{t}}$

і звідси

${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}-(\mathrm {d} \Phi _{t}^{X})Y_{p(t)}}{t}}f=\lim _{t\to 0}{\frac {Y_{p}f-Y_{p(t)}f}{t}}-\lim _{t\to 0}(Y_{p(t)}g_{t})=X_{p}(Yf)-Y_{p}g_{0}=[X,Y]_{p}f.}$

що і доводить наше твердження.

Визначення в локальних координатах

Вибравши локальну координатну систему на многовиді M з координатними функціями ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ і позначивши ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ асоційований локальний базис дотичного розшарування, локально векторні поля можна записати як

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\partial _{i}}$

${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y_{i}\partial _{i}}$

де ${\displaystyle X_{i}:M\to \mathbb {R} }$ and ${\displaystyle Y_{i}:M\to \mathbb {R} }$ — деякі гладкі функції. Тоді дужки Лі в цих координатах визначаються як

${\displaystyle [X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}}$

Сама форма запису показує, що [X,Y] є векторним полем.

Якщо M є евклідовим простором Rⁿ або його відкритою підмножиною то векторні поля X і Y можна записати як гладкі відображення ${\displaystyle X:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ і ${\displaystyle Y:M\to \mathbb {R} ^{n}}$, а дужка Лі ${\displaystyle [X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}}$ може бути визначена як

${\displaystyle [X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y}$

де ${\displaystyle J_{Y}}$ і ${\displaystyle J_{X}}$ — матриці Якобі відображень ${\displaystyle Y}$ і ${\displaystyle X}$ відповідно.

Властивості

Разом з операцією дужок Лі векторний простій ${\displaystyle V=\Gamma (TM)}$ всіх гладких векторних полів на M (тобто гладких перерізів дотичного розшарування ${\displaystyle TM}$ многовида ${\displaystyle M}$) є алгеброю Лі, тобто [·,·] є відображенням ${\displaystyle V\times V\to V}$ з такими властивостями:

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ is R-білінійним відображенням, тобто ${\displaystyle [X+Y,Z]=[X,Z]+[Y,Z],\;[X,Y+Z]=[X,Y]+[X,Z]}$ для всіх векторних полів X,Y, Z;
• ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]\,}$ і, еквівалентно, ${\displaystyle [X,X]=0}$ для всіх векторних полів ${\displaystyle X}$;
• ${\displaystyle [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.\,}$ Ця властивість називається тотожністю Якобі;
• Для гладкої функції f визначеної на M дужка Лі векторних полів X і fY задовольняє рівність

${\displaystyle [X,fY]=X(f)Y+f[X,Y]}$

• ${\displaystyle [X,Y]=0\,}$ тоді й лише тоді коли X і Y локально комутують, тобто для всіх x∈M і достатньо малих дійсних чисел s, t виконується рівність ${\displaystyle (\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)}$.
• Нехай тепер M, N — гладкі многовиди, F — гладке відображення між ними, dF — диференціал цього відображення, а X і Y — векторні поля на M. Тоді виконується рівність:

${\displaystyle \operatorname {d} F([X,Y])=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]\,}$

Для точки ${\displaystyle p\in M}$ диференціал dF є відображенням з дотичного простору ${\displaystyle T_{p}(M)}$ в дотичний простір ${\displaystyle T_{F(p)}(N),}$ таким що для функції ${\displaystyle g\in C^{\infty }(N)}$ за визначенням ${\displaystyle \operatorname {d} F(X)(g)(F(p))=X(g\circ F)(p)}$ і тому ${\displaystyle \operatorname {d} F(X)(g)\circ F=X(g\circ F)}$ Тож для довільних гладких векторних полів ${\displaystyle X,Y}$ і всіх функцій ${\displaystyle g\in C^{\infty }(N)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {d} F[X,Y]_{F(p)}(g)=[X,Y]_{p}(g\circ F)\\&=X_{p}(Y(g\circ F))-Y_{p}(X(g\circ F))\\&=X_{p}(\operatorname {d} F(Y)(g)\circ F)-Y_{p}(\operatorname {d} F(X)(g)\circ F)\\&=\operatorname {d} F(X)_{F(p)}(\operatorname {d} F(Y)(g))-\operatorname {d} F(Y)_{F(p)}(\operatorname {d} F(X)(g))\\&=[\operatorname {d} F(X),\operatorname {d} F(Y)]_{F(p)}(g)\end{aligned}}}$

Звідси і отримується необхідна рівність.

Див. також

• Алгебра Лі
• Дотичний вектор
• Дужки Пуассона
• Похідна Лі

Джерела

• Голод П. І., Клімик А. У. Математичні основи теорії симетрії. — К. : Наукова думка, 1992. — 368 с. (укр.)
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), bracket Lie bracket, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J, ISBN  (англ.)
• Kolar, I., Michor, P., and Slovak, J. (1993), , Springer-Verlag, архів оригіналу за 14 лютого 2021, процитовано 2 грудня 2016
• Lang, S. (1995), Differential and Riemannian manifolds, Springer-Verlag, ISBN 
• Warner, Frank (1983) [1971], Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN