Гранична множина

Гранична множина — математичне поняття, що означає множину станів, якої досягає математичний об'єкт, що залежить від часу (наприклад, динамічна система), за нескінченний проміжок часу. Іншими словами, це множина станів, до яких об'єкт необмежено наближається за необмеженого зростання (або спадання) часу.

В теорії динамічних систем

Нехай ${\displaystyle x=\varphi (t)}$ — траєкторія векторного поля (динамічної системи) зі фазовим простором X. Точку ${\displaystyle x_{*}\in X}$ називають ω-граничною (α-граничною) точкою цієї траєкторії, якщо існує послідовність ${\displaystyle t_{n}\to +\infty }$ (відповідно, ${\displaystyle t_{n}\to -\infty }$ ) така, що ${\displaystyle \varphi (t_{n})\to x_{*}}$. Відповідно, α-граничною (ω-граничною) множиною цієї траєкторії називають множину, що складається з усіх її α-граничних (ω-граничних) точок.

Теорема. Як α-гранична, так і ω-гранична множини є інваріантними і замкнутими множинами.

Див. також

• Точка рівноваги
• Граничний цикл
• Теорема Пуанкаре — Бендиксона
• Атрактор

Примітки

1. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов, Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: , 1949 (гл. IV, пар. 3)

Література

• ^[ru], ^[de]. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М. : Факториал, 1999. — С. 455. — .

• ^[ru]. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М. : Наука, 1985.
• К. Носиро. Предельные множества. — М. : ИЛ, 1963.
• , . Качественная теория дифференциальных уравнений. — М. : , 1949.
• ^[en], А. Ловатер. Теория предельных множеств. — М. : Мир, 1971.

Примітки