Теоре́ма Лебе́га про мажоро́вану збі́жність — теорема у функціональному аналізі, теорії ймовірностей і суміжних дисциплінах, що визначає достатні умови рівності границі інтегралів Лебега від збіжної послідовності функцій і інтеграла Лебега від граничної функції цієї послідовності. Твердження не має аналогу для інтеграла Рімана і є однією із значних теоретичних переваг інтеграла Лебега.
Формулювання
Нехай — вимірні функції на просторі з мірою , що приймають значення в чи і задовольняють умови :
- Послідовність функцій збігається за мірою до функції на всій множині .
- Існує функція така що :
Тоді і
при чому виконується :
Доведення
Доведемо, що :
оскільки є границею вимірних функцій, вона є вимірною. Також оскільки для усіх виконується , то здійснивши граничний перехід одержуємо, звідки .
Використавши і застосувавши лему Фату,
Оскільки то,
звідки
скориставшись цією властивістю можна завершити доведення :
Зауваження
- Умова мажорованості послідовності інтегрованою функцією не може бути опущена, як показує наступний контрприклад. Нехай , де - борелівська -алгебра на , а - міра Лебега на тому ж просторі. Визначимо
- Тоді послідовність не може бути мажорована інтегрованою функцією, і
- В твердженні теореми достатньо вимагати збіжності майже всюди і виконання нерівностей майже всюди.
- Справді якщо позначити і — множина на якій послідовність не збігається до f, то для всіх . Позначивши маємо і перевизначивши на маємо, що задовольняють всі умови теореми і їх інтеграли не змінюються оскільки перевизначення відбулося на множині міри нуль.
Застосування до теорії ймовірностей
Оскільки математичне сподівання випадкової величини визначається як її інтеграл Лебега по простору елементарних подій , вищенаведена теорема переноситься і в теорію ймовірностей. Нехай задана послідовність випадкових величин, що сходиться майже напевно: майже напевно. Нехай додатково існує інтегровна випадкова величина , така що майже напевно. Тоді випадкові величини інтегровні і
Див. також
Література
- Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла Київ, 1989
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. Springer Verlag 2004
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teore ma Lebe ga pro mazhoro vanu zbi zhnist teorema u funkcionalnomu analizi teoriyi jmovirnostej i sumizhnih disciplinah sho viznachaye dostatni umovi rivnosti granici integraliv Lebega vid zbizhnoyi poslidovnosti funkcij i integrala Lebega vid granichnoyi funkciyi ciyeyi poslidovnosti Tverdzhennya ne maye analogu dlya integrala Rimana i ye odniyeyu iz znachnih teoretichnih perevag integrala Lebega FormulyuvannyaNehaj fn n N displaystyle f n n in mathbb N vimirni funkciyi na prostori z miroyu X F m displaystyle X mathcal F mu sho prijmayut znachennya v R displaystyle mathbb R chi C displaystyle mathbb C i zadovolnyayut umovi Poslidovnist funkcij fn n N displaystyle f n n in mathbb N zbigayetsya za miroyu do funkciyi f displaystyle f na vsij mnozhini X displaystyle X Isnuye funkciya g L1 displaystyle g in L 1 taka sho n N x X fn x g x displaystyle forall n in mathbb N forall x in X f n x leqslant g x Todi f L1 displaystyle f in L 1 i limn X fn f dm 0 displaystyle lim n to infty int X f n f d mu 0 pri chomu vikonuyetsya limn Xfndm Xlimn fndm Xfdm displaystyle lim n to infty int X f n d mu int X lim n to infty f n d mu int X f d mu DovedennyaDovedemo sho f L1 displaystyle f in L 1 oskilki f displaystyle f ye graniceyu vimirnih funkcij vona ye vimirnoyu Takozh oskilki dlya usih n displaystyle n vikonuyetsya fn x g x displaystyle f n x leqslant g x to zdijsnivshi granichnij perehid oderzhuyemo f x g x x X displaystyle f x leqslant g x forall x in X zvidki f L1 displaystyle f in L 1 Vikoristavshi 2g fn f 0 displaystyle 2g f n f geqslant 0 i zastosuvavshi lemu Fatu X2g dm lim inf X 2g fn f dm X2g dm lim inf X fn f dm X2g dm lim sup X fn f dm displaystyle begin aligned int X 2g d mu amp leqslant liminf int X 2g f n f d mu amp int X 2g d mu liminf int X f n f d mu amp int X 2g d mu limsup int X f n f d mu end aligned Oskilki g dm lt displaystyle int g d mu lt infty to lim sup X fn f dm 0 displaystyle limsup int X f n f d mu leqslant 0 zvidki lim X fn f dm 0 displaystyle lim int X f n f d mu 0 skoristavshis ciyeyu vlastivistyu mozhna zavershiti dovedennya X fn f dm X fn f dm Xfn dm Xf dm X fn f dm 0 Xfn dm Xf dm displaystyle begin aligned amp left int X f n f d mu right leqslant int X f n f d mu Rightarrow amp left int X f n d mu int X f d mu right leqslant int X f n f d mu rightarrow 0 Rightarrow amp int X f n d mu rightarrow int X f d mu end aligned ZauvazhennyaUmova mazhorovanosti poslidovnosti fn displaystyle f n integrovanoyu funkciyeyu g displaystyle g ne mozhe buti opushena yak pokazuye nastupnij kontrpriklad Nehaj X F m 0 1 B m displaystyle X mathcal F mu 0 1 mathcal B m de B displaystyle mathcal B borelivska s displaystyle sigma algebra na 0 1 displaystyle 0 1 a m displaystyle m mira Lebega na tomu zh prostori Viznachimofn x n x 0 1n 0 x 1n 1 displaystyle f n x begin cases n amp x in left 0 dfrac 1 n right 10pt 0 amp x in left dfrac 1 n 1 right end cases Todi poslidovnist fn displaystyle f n ne mozhe buti mazhorovana integrovanoyu funkciyeyu i 01limn fn x m dx 0 1 limn 01fn x m dx displaystyle int limits 0 1 lim limits n to infty f n x m dx 0 neq 1 lim limits n to infty int limits 0 1 f n x m dx V tverdzhenni teoremi dostatno vimagati zbizhnosti majzhe vsyudi i vikonannya nerivnostej fn x g x displaystyle f n x leqslant g x majzhe vsyudi Spravdi yaksho poznachiti Nk x fk x g x n N displaystyle N k x f k x geq g x quad n in mathbb N i N0 displaystyle N 0 mnozhina na yakij poslidovnist fk displaystyle f k ne zbigayetsya do f to m Nk 0 displaystyle mu left N k right 0 dlya vsih k displaystyle k Poznachivshi N k 0 Nk displaystyle N bigcup k 0 infty N k mayemo m N 0 displaystyle mu left N right 0 i pereviznachivshi fk 0 f 0 displaystyle f k 0 f 0 na N displaystyle N mayemo sho fk f displaystyle f k f zadovolnyayut vsi umovi teoremi i yih integrali ne zminyuyutsya oskilki pereviznachennya vidbulosya na mnozhini miri nul Zastosuvannya do teoriyi jmovirnostejOskilki matematichne spodivannya vipadkovoyi velichini viznachayetsya yak yiyi integral Lebega po prostoru elementarnih podij W displaystyle Omega vishenavedena teorema perenositsya i v teoriyu jmovirnostej Nehaj zadana poslidovnist vipadkovih velichin sho shoditsya majzhe napevno Xn X displaystyle X n to X majzhe napevno Nehaj dodatkovo isnuye integrovna vipadkova velichina Y displaystyle Y taka sho n N Xn Y displaystyle forall n in mathbb N quad X n leqslant Y majzhe napevno Todi vipadkovi velichini Xn X displaystyle X n X integrovni i limn EXn EX displaystyle lim limits n to infty mathbb E X n mathbb E X Div takozhLema Fatu Integral Lebega Vimirna funkciyaLiteraturaDorogovcev A Ya Elementy obshej teorii mery i integrala Kiyiv 1989 Capinski Marek Kopp Peter E Measure Integral and Probability Springer Verlag 2004 ISBN 9781852337810 Kolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros