Ввідні означення
Нехай — монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої
. У напівкільці всіх інтервалів виду
можна ввести міру
як:
. Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів
із скінченними кінцями:
,
,
,
.
де і
позначають границі справа функції
у відповідних точках.
називається мірою Лебега — Стілтьєса.
Типи мір
— функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок
у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву
він є рівним
. Міра
множини
у цьому випадку є рівною:
- У цьому випадку
називається дискретною мірою.
- Функція F є неперервною, монотонно не спадною на
і
. Тоді міра
множини
є рівною:
- У цьому випадку
називається абсолютно неперервною мірою.
— сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст
рівний 1 на всьому відрізку, але
є константою майже всюди ). Міра
зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.
Теорема про розклад міри
Твердження для міри Лебега — Стілтьєса
Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.
Твердження для σ-адитивних мір
Якщо і
є заданими на вимірному просторі
двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди)
і
для яких:
(тобто
є абсолютно неперервною щодо
)
(тобто
і
є сингулярними).
Ці дві міри є однозначно визначеними для and
Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.
Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).
Див. також
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Vvidni oznachennyaNehaj F displaystyle F monotonno nespadna neperervna zliva funkciya dijsnoyi zminnoyi dlya yakoyi limx F x limx F x lt displaystyle lim x to infty F x lim x to infty F x lt infty U napivkilci vsih intervaliv vidu a b displaystyle a b mozhna vvesti miru mF displaystyle mu F yak mF a b F b F a displaystyle mu F a b F b F a Yiyi mozhna prodovzhiti na borelivsku sigma algebru porodzhenu napivkilcem vkazanih intervaliv Zokrema dlya riznih tipiv intervaliv a b displaystyle a b iz skinchennimi kincyami mF a b F b F a displaystyle mu F a b F b F a mF a b F b F a 0 displaystyle mu F a b F b F a 0 mF a b F b 0 F a 0 displaystyle mu F a b F b 0 F a 0 mF a b F b 0 F a displaystyle mu F a b F b 0 F a de F a 0 displaystyle F a 0 i F b 0 displaystyle F b 0 poznachayut granici sprava funkciyi F displaystyle F u vidpovidnih tochkah mF displaystyle mu F nazivayetsya miroyu Lebega Stiltyesa Tipi mir F displaystyle F funkciya stribkiv yaka ye konstantoyu v usih tochkah za viklyuchennyam ne bilsh nizh zlichennoyi mnozhini tochok xi i 1 displaystyle x i i geqslant 1 u yakih funkciya zdijsnyuye stribok Stribok zavzhdi ye dodatnim i u tochci rozrivu xi displaystyle x i vin ye rivnim hi F xi 0 F xi displaystyle h i F x i 0 F x i Mira mF displaystyle mu F mnozhini A displaystyle A u comu vipadku ye rivnoyu mF A xi Ahi displaystyle mu F A sum limits x i in A h i dd U comu vipadku mF displaystyle mu F nazivayetsya diskretnoyu miroyu Funkciya F ye neperervnoyu monotonno ne spadnoyu na a b displaystyle a b i F x f x displaystyle F x f x Todi mira mF displaystyle mu F mnozhini A displaystyle A ye rivnoyu mF A Af x dx displaystyle mu F A int limits A f x dx dd U comu vipadku mF displaystyle mu F nazivayetsya absolyutno neperervnoyu miroyu F displaystyle F singulyarna funkciya napriklad drabina Kantora de pririst F displaystyle F rivnij 1 na vsomu vidrizku ale F displaystyle F ye konstantoyu majzhe vsyudi Mira mF displaystyle mu F zoseredzhena u tochkah zrostannya funkciyi i nazivayetsya singulyarnoyu miroyu Teorema pro rozklad miriTverdzhennya dlya miri Lebega Stiltyesa Zgidno teoremi Lebega pro rozklad miri bud yaku miru Lebega Stiltyesa mozhna predstaviti u viglyadi sumi troh mir diskretnoyi absolyutno neperervnoyi i singulyarnoyi Tverdzhennya dlya s aditivnih mir Yaksho m displaystyle mu i n displaystyle nu ye zadanimi na vimirnomu prostori W S displaystyle Omega Sigma dvoma s skinchennimi mirami chi bilsh zagalno s skinchennimi s aditivnimi zaryadami todi isnuyut dvi miri chi vidpovidno s aditivni zaryadi n0 displaystyle nu 0 i n1 displaystyle nu 1 dlya yakih n n0 n1 displaystyle nu nu 0 nu 1 n0 m displaystyle nu 0 ll mu tobto n0 displaystyle nu 0 ye absolyutno neperervnoyu shodo m displaystyle mu n1 m displaystyle nu 1 perp mu tobto n1 displaystyle nu 1 i m displaystyle mu ye singulyarnimi Ci dvi miri ye odnoznachno viznachenimi dlya m displaystyle mu and n displaystyle nu Vipadok miri Lebega Stiltyesa oderzhuyetsya yaksho m n displaystyle mu nu ye miroyu Lebega Stiltyesa pislya chogo yiyi mozhna rozklasti na absolyutno neperervnu i singulyarnu chastini a todi iz singulyarnoyi chastini okremo vidiliti ne bilsh nizh zlichennu pidmnozhinu tochok mira kozhnoyi z yakih ye dodatnoyu i vidpovidnu diskretnu miru Teorema Lebega pov yazana iz teoremoyu teoremoyu Radona Nikodima i yiyi dovedennya mozhna oderzhati paralelno iz dovedennyam ciyeyi teoremi yak u drugomu dovedeni u vidpovidnij statti Div takozhIntegral Lebega Stiltyesa Teorema Radona NikodimaDzherelaKolmogorov A N Fomin S V Elementy teorii funkcij i funkcionalnogo analiza 4 e izd Moskva Nauka 1976 544 s ISBN 5 9221 0266 4 ros