Елементарні симетричні многочлени — один з підвидів симетричних многочленів, їх важливість у тому, що з них можна скласти довільний симетричний многочлен.
Елементарні симетричні многочлени мають вигляд:
і так далі до
Для довільного многочлена можна записати:
Алгебраїчна незалежність
Елементарні симетричні многочлени є алгебраїчно незалежними, тобто для будь-якого n > 0 не існує такого ненульового многочлена P від n змінних, що Для доведення цього факту, на множині всіх одночленів
можна ввести два відношення лінійного порядку:
- Перше відношення
якщо
для найменшого індексу j для якого
.
- Друге відношення є лексикографічним упорядкуванням, тобто
якщо
для найменшого індексу j для якого
.
Якщо P є ненульовим многочленом, то його можна записати, як суму одночленів виду Нехай
є одночленом, що є найбільшим у першому впорядкуванні. Тоді підставляючи
і розписуючи одержаний вираз, як многочлен від
одержуємо, що найбільший у другому впорядкуванні одночлен одержаного многочлена має вигляд
Якщо тепер
то k=0, а тому і
Теорема Вієта
Однією з причин широкого застосування елементарних симетричних многочленів є теорема Вієта: Нехай P — многочлен із коефіцієнтами з деякого поля старшим коефіцієнтом рівним одиниці. У своєму алгебраїчному замиканні цей многочлен має кількість коренів рівну його степеню (з урахуванням кратності коренів) і можна записати:
тоді коефіцієнти P виражаються через елементарні симетричні многочлени від його коренів. А саме:
Фундаментальна теорема про симетричні многочлени
Нехай R — комутативне кільце з одиницею. Тоді довільний симетричний многочлен від n змінних з коефіцієнтами з R, може бути записаний як многочлен від змінних з коефіцієнтами з R.
Література
- Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. — 2 изд. — М. : Наука, 1973. — 400 с.(рос.)
- Многочлены. — 2-е. — Москва : МЦНМО, 2001. — 336 с. — .(рос.)
- Smith, Larry (1995), Polynomial invariants of finite groups, Research notes in mathematics, т. 6, AK Peters, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Elementarni simetrichni mnogochleni odin z pidvidiv simetrichnih mnogochleniv yih vazhlivist u tomu sho z nih mozhna sklasti dovilnij simetrichnij mnogochlen Elementarni simetrichni mnogochleni mayut viglyad e0 x1 x2 xn 1 e1 x1 x2 xn 1 j nxj e2 x1 x2 xn 1 j lt k nxjxk e3 x1 x2 xn 1 j lt k lt l nxjxkxl displaystyle begin aligned e 0 x 1 x 2 dots x n amp 1 e 1 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j leq n x j e 2 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k leq n x j x k e 3 x 1 x 2 dots x n amp textstyle sum 1 leq j lt k lt l leq n x j x k x l end aligned i tak dali do en x1 x2 xn x1x2 xn displaystyle e n x 1 x 2 dots x n x 1 x 2 cdots x n Dlya dovilnogo mnogochlena mozhna zapisati ek x1 xn 1 j1 lt j2 lt lt jk nxj1 xjk displaystyle e k x 1 ldots x n sum 1 leq j 1 lt j 2 lt cdots lt j k leq n x j 1 cdots x j k Algebrayichna nezalezhnistElementarni simetrichni mnogochleni ye algebrayichno nezalezhnimi tobto dlya bud yakogo n gt 0 ne isnuye takogo nenulovogo mnogochlena P vid n zminnih sho P e1 en 0 displaystyle P e 1 ldots e n 0 Dlya dovedennya cogo faktu na mnozhini vsih odnochleniv x1a1 xnan displaystyle x 1 a 1 ldots x n a n mozhna vvesti dva vidnoshennya linijnogo poryadku Pershe vidnoshennya x1a1 xnan gt x1b1 xnbn displaystyle x 1 a 1 ldots x n a n gt x 1 b 1 ldots x n b n yaksho aj an gt bj bn displaystyle a j ldots a n gt b j ldots b n dlya najmenshogo indeksu j dlya yakogo aj an bj bn displaystyle a j ldots a n neq b j ldots b n Druge vidnoshennya ye leksikografichnim uporyadkuvannyam tobto x1a1 xnan gt x1b1 xnbn displaystyle x 1 a 1 ldots x n a n gt x 1 b 1 ldots x n b n yaksho aj gt bj displaystyle a j gt b j dlya najmenshogo indeksu j dlya yakogo aj bj displaystyle a j neq b j Yaksho P ye nenulovim mnogochlenom to jogo mozhna zapisati yak sumu odnochleniv vidu cy1a1 a2y2a2 a3 yn 1an 1 anynan displaystyle cy 1 a 1 a 2 y 2 a 2 a 3 ldots y n 1 a n 1 a n y n a n Nehaj ky1a1 a2y2a2 a3 yn 1an 1 anynan displaystyle ky 1 a 1 a 2 y 2 a 2 a 3 ldots y n 1 a n 1 a n y n a n ye odnochlenom sho ye najbilshim u pershomu vporyadkuvanni Todi pidstavlyayuchi yi ei displaystyle y i e i i rozpisuyuchi oderzhanij viraz yak mnogochlen vid x1 xn displaystyle x 1 ldots x n oderzhuyemo sho najbilshij u drugomu vporyadkuvanni odnochlen oderzhanogo mnogochlena maye viglyad kx1a1 xnan displaystyle kx 1 a 1 ldots x n a n Yaksho teper P e1 en 0 displaystyle P e 1 ldots e n 0 to k 0 a tomu i P 0 displaystyle P 0 Teorema ViyetaDokladnishe Teorema Viyeta Odniyeyu z prichin shirokogo zastosuvannya elementarnih simetrichnih mnogochleniv ye teorema Viyeta Nehaj P mnogochlen iz koeficiyentami z deyakogo polya starshim koeficiyentom rivnim odinici U svoyemu algebrayichnomu zamikanni cej mnogochlen maye kilkist koreniv rivnu jogo stepenyu z urahuvannyam kratnosti koreniv i mozhna zapisati P tn an 1tn 1 a2t2 a1t a0 t x1 t x2 t xn displaystyle P t n a n 1 t n 1 cdots a 2 t 2 a 1 t a 0 t x 1 t x 2 cdots t x n todi koeficiyenti P virazhayutsya cherez elementarni simetrichni mnogochleni vid jogo koreniv A same an 1 x1 x2 xnan 2 x1x2 x1x3 x2x3 xn 1xn 1 i lt j nxixj an d 1 d 1 i1 lt i2 lt lt id nxi1xi2 xid a0 1 nx1x2 xn displaystyle begin aligned a n 1 amp x 1 x 2 cdots x n a n 2 amp x 1 x 2 x 1 x 3 cdots x 2 x 3 cdots x n 1 x n textstyle sum 1 leq i lt j leq n x i x j amp vdots a n d amp textstyle 1 d sum 1 leq i 1 lt i 2 lt cdots lt i d leq n x i 1 x i 2 cdots x i d amp vdots a 0 amp 1 n x 1 x 2 cdots x n end aligned Fundamentalna teorema pro simetrichni mnogochleniNehaj R komutativne kilce z odiniceyu Todi dovilnij simetrichnij mnogochlen vid n zminnih z koeficiyentami z R mozhe buti zapisanij yak mnogochlen vid zminnih e1 en displaystyle e 1 ldots e n z koeficiyentami z R LiteraturaKurosh A G Lekcii po obshej algebre 2 izd M Nauka 1973 400 s ros Mnogochleny 2 e Moskva MCNMO 2001 336 s ISBN 5 94057 077 1 ros Smith Larry 1995 Polynomial invariants of finite groups Research notes in mathematics t 6 AK Peters ISBN 9781568810539