*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.
*-кільце
*-кільце — кільце з унарною операцією * яка є
- , тобто
- та інволюцією, тобто
Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.
*-алгебра
*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в
Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).
Тоді * є спряжено-лінійним, тобто
- .
*-гомоморфізм є що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:
- Елементи для яких називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
- Елементи для яких називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
- Можна визначити (сесквілінійну форму) за допомогою операції * у виді .
C*-алгебра
C*-алгебра — (Банахова) *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:
Обидві умови є еквівалентними.
Також вони еквівалентні В*–властивості
Приклади
- Найвідомішим прикладом є комплексні числа з операцією спряження.
- За допомогою (процедури Кейлі-Діксона) утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октоніони.
- Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією (ермітового спряження).
- Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.
Властивості
Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:
- Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді та є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
- Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
- Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.
Див. також
- (Нормована алгебра з діленням)
Джерела
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет