Чотиривимірні гіперкомплексні числа

Чотиривимірні гіперкомплексні числа — гіперкомплексні числа з трьома уявними одиницями.

Тобто числа виду ${\displaystyle \ a+bi+cj+dk,}$

де

${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — дійсні числа;

${\displaystyle \ i,j,k}$  — уявні одиниці,

${\displaystyle \ I=bi+cj+dk}$  — уявна частина.

Множення

Всі 3*3 взаємних добутків уявних одиниць є деякими чотиривимірними гіперкомплексними числами, наприклад:

${\displaystyle ij=a+bi+cj+dk}$

Погрупувавши доданки

${\displaystyle (i-c)(j-b)=(a+cb)+dk}$

Після заміни змінних, отримаємо:

${\displaystyle ij=k}$

Тому довільне чотиривимірне гіперкомплексне число можна записати рекурсивно:

${\displaystyle \ (a+bi)+(c+di)j}$.

Додавання і множення гіперкомплексних чисел повинно бути узгодженим з традиційним додаванням і множенням дійсних чисел.

Дійсні числа в даній гіперкомплексній системі мають вигляд ${\displaystyle \ a+0I.}$

• ${\displaystyle \ (a_{1}+I_{1})+(a_{2}+I_{2})=(a_{1}+a_{2})+(I_{1}+I_{2})}$ — додавання,
• ${\displaystyle \ (a_{1}+I_{1})\cdot (a_{2}+I_{2})=a_{1}a_{2}+(a_{1}I_{2}+a_{2}I_{1})+I_{1}I_{2}}$ — множення (може бути не комутативним і не асоціативним).

Степенева асоціативність

Щоб була хоча б одна з найслабших форм асоціативності — степенева асоціативність:

${\displaystyle z\cdot z^{2}=z^{2}\cdot z}$

${\displaystyle z^{2}=(a+I)(a+I)=(a^{2}+2aI)+I^{2}}$

достатньо комутативності множення або степеневої асоціативності для ${\displaystyle I}$.

Другого легко досягти при:

${\displaystyle I^{2}=(bi+cj+dk)^{2}=b^{2}i^{2}+c^{2}j^{2}+d^{2}k^{2}+bc(ij+ji)+bd(ik+ki)+cd(jk+kj)\in \mathbb {R} \quad \forall a,b,c}$

Почергово зануляючи всі числа окрім одного отримаємо:

${\displaystyle ij+ji=ik+ki=jk+kj=0}$ — антикомутативність добутків ${\displaystyle i,j,k}$

${\displaystyle ii=a_{ii}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle jj=a_{jj}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle kk=a_{kk}\in \mathbb {R} }$

Альтернативність

Використавши ще одну із слабких форм асоціативності — альтернативність, отримаємо:

${\displaystyle ij=k}$

${\displaystyle kj=a_{jj}\cdot i}$, ${\displaystyle ik=a_{ii}\cdot j}$,

${\displaystyle a_{ii}\cdot jk=a_{kk}\cdot i}$ ${\displaystyle a_{jj}\cdot ki=a_{kk}\cdot j}$

${\displaystyle a_{kk}\cdot ji=a_{ii}a_{jj}\cdot k}$.

Виконавши множення в різному порядку отримаємо асоціативність:

${\displaystyle ijk=jki=kij=a_{kk}}$

${\displaystyle kji=ikj=jik=a_{ii}a_{jj}}$

Властивості:

${\displaystyle i^{2}}$	${\displaystyle j^{2}}$	${\displaystyle k^{2}}$	Назва	${\displaystyle ij=ji}$	${\displaystyle ij=-ji}$	${\displaystyle \ z,w\in \mathbb {C} ,\quad i_{2}^{2}=-1,\epsilon ^{2}=0}$	Примітки
-1	-1	-1	кватерніони	✗	Так	${\displaystyle z+w\cdot i_{2}}$
-1	-1	+1	бікомплексні числа	Так	✗	${\displaystyle z+w\cdot i_{2}}$	комутативні кватерніони
-1	+1	-1	тессаріни	Так	✗	${\displaystyle z+w\cdot j}$	ізоморфні бікомплексним числам
-1	+1	+1	спліт-кватерніони	✗	Так	${\displaystyle z+w\cdot j}$
-1	0	0	дуальні комплексні числа	✗	Так	${\displaystyle z+w\cdot \epsilon }$

Не альтернативні

При відсутності альтернативності, не можливо вивести одні добутки із інших, але легко побачити степенево-асоціативну систему:

• ${\displaystyle a_{ii}=a_{jj}=a_{kk}=+1}$ гіперболічні кватерніони

${\displaystyle ij=k=-ji}$

${\displaystyle jk=i=-kj}$

${\displaystyle ki=j=-ik}$

Ділення

Визначимо операції:

• ${\displaystyle \lVert z\rVert \equiv z{\bar {z}}={\bar {z}}z}$ — норма числа,
• ${\displaystyle {z_{1} \over z_{2}}\equiv {z_{1}{\bar {z_{2}}} \over \lVert z_{2}\rVert }}$ — ділення чисел.

При ${\displaystyle I^{2}\in \mathbb {R} }$ можна визначити:

• ${\displaystyle \ {\overline {a+I}}\equiv a-I}$ — спряжене число,
• ${\displaystyle \lVert z\rVert \equiv (a^{2}-I^{2})\in \mathbb {R} }$.

Діагональний базис

Якщо присутня інволюційна уявна одиниця ${\displaystyle \ j^{2}=+1,}$ то як і в подвійних числах існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e_{1}={1-j \over 2},\quad e_{2}={1+j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис:

${\displaystyle \ A+Bj=(A-B)e_{1}+(A+B)e_{2}={\Big (}a-c+(b-d)i{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a+c+(b+d)i{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ чи ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ рівні нулю.

Див. також

• Двовимірні гіперкомплексні числа

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)