Хвіст ластівки (поверхня)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Хвіст ластівки.

Хвіст ластівки (англ. swallow tail) — (нерегулярна поверхня) в тривимірному просторі, визначити яку можна декількома еквівалентними способами. Розглянемо многочлен ${\displaystyle P(x)=x^{4}+ax^{2}+bx+c}$ від змінної ${\displaystyle x}$, що залежить від коефіцієнтів ${\displaystyle a,b,c}$ (і змінна, і коефіцієнти передбачаються дійсними). Кожній трійці коефіцієнтів ${\displaystyle a,b,c}$ однозначно відповідає многочлен ${\displaystyle P(x)}$, а також точка в просторі з декартовими координатами ${\displaystyle (a,b,c)}$. Тоді «хвіст ластівки» визначається як поверхня ${\displaystyle S}$ в просторі з координатами ${\displaystyle (a,b,c)}$, точкам якої відповідають багаточлени ${\displaystyle P(x)}$, які мають кратні корені.

«Хвіст ластівки»

Поверхня ${\displaystyle S}$ має особливість у вигляді ребра повернення і лінії самоперетину, при цьому ребро повернення має вигляд напівкубічної параболи, що має особливість у вигляді точки повернення (каспу). Поверхня ${\displaystyle S}$ розбиває простір ${\displaystyle (a,b,c)}$ на три області, що відповідають числам дійсних коренів многочлена ${\displaystyle P(x)}$. Саме, в області, що має вигляд криволінійної піраміди, ребрами якої є лінія самоперетину і дві гілки напівкубічної параболи, ${\displaystyle P(x)}$ має 4 дійсних корені, в прилеглій до неї області — два, і в області, що залишилась — нуль.

Хвіст ластівки знаходить численні застосування в (теорії катастроф) і теорії біфуркацій. Зокрема, він є поверхнею критичних значень (образом множини критичних точок) одного з стійких ростків гладких відображень ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$. Хвіст ластівки є стратифікованим многовидом.

Параметричне задання

Користуючись даним означенням, можна отримати формулу, що задає хвіст ластівки параметрично:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{1}(u,v)=&u\\x_{2}(u,v)=&2v^{3}+uv\\x_{3}(u,v)=&3v^{4}+uv^{2}.\\\end{matrix}}\right.}$

Цікаві факти

Поверхня хвіст ластівки була детально вивчена Кронекером в 1878 році, вона зустрічається також в роботах Келі того ж часу, присвячених особливостям розповсюджуються хвильових фронтів і каустик.

У 1983 році іспанський художник Сальвадор Далі під враженням від робіт французького математика Рене Тома в області теорії катастроф написав картину «Хвіст ластівки», що являє собою просту каліграфічну композицію на світлому фоні, в центрі якої зображено переріз поверхні ${\displaystyle S}$ в просторі ${\displaystyle (a,b,c)}$ площиною ${\displaystyle a={\text{const}}>0}$ — крива з точкою самоперетину і двома напівкубічними точками повернення. На цій картині, що стала останнім твором художника, можна бачити також , стилізовані знаки інтеграла й фрагменти музичних інструментів.

Література

• Арнольд В. И. Теория катастроф, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Любое издание.
• Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей, — М.: Мир, 1988.
• Арнольд В. И. Особенности каустик и волновых фронтов, — М.: Фазис, 1996.
• В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. Теория бифуркаций.

Примітки

1. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
2. Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали [ 11 січня 2013 у Wayback Machine.].
3. Дали Сальвадор. Биография^{[недоступне посилання з липня 2019]}.
4. Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).