У теорії тривимірних обертань, формула повороту Родрігеса (названа на честь ) — дієвий алгоритм для обертання вектора у просторі, за заданими віссю та кутом.
Якщо — вектор у і — одиничний вектор, що описує вісь обертання, навколо якої ми хочемо повернути на кут , то формула Родрігеса має вигляд:
Виведення
Для певної осі обертання z, яка представлена одиничним вектором k = (kX, kY, kZ), і вектором v = (vX, vY, vZ), який ми хочемо повернути, вектор
є складовою v паралельною до z, також відомою як проєкція вектора v на k, і вектор
є проєкцією v на площину xy ортогональну до z, відомою як відкидання вектора.
Зауважте, що ми вибрали систему відліку xyz, в якій z вісь вирівняна з віссю повороту, а x вісь з відкиданням вектора v від k. Це спрощує демонстрацію, бо це має на увазі, що v лежить у площині xz і його складова vy є нулем. Однак, xyz не збігається з XYZ в якій вектори v, k, vx і vz представлені. Наприклад, v = (vX, vY, vZ) ≠ (vx, vy, vz). Інакше кажучи, формула Родрігеса незалежна від орієнтації в просторі системи відліку XYZ у якій v і k представлені.
Далі
- .
Зауважимо, що vx і w мають одну й ту саму довжину. За визначенням векторного добутку, довжина w становить:
де φ позначає кут між z і v. з того, що k має одиничну довжину,
Це збігається з довжиною vx, обрахованою тригонометрично так:
Отже w можна розглядати як копію vx обернуту на 90° навколо z. Використовуючи тригонометрію, ми можемо повернути vx на θ навколо z, щоб отримати vx rot. Його два компоненти щодо x і y є vxcosθ і wsinθ, відповідно. Таким чином,
vx rot також можна записати як проєкцію на xy вектора, який ми повертаємо, vrot. Тому що поворот навколо z не зачіпає vz, другий компонент vrot (тобто проєкція на z) збігається з vz. Отже,
як і вимагалось.
Матричний запис
Представивши v і k у вигляді вектор-стовпців і як (матрицю векторного добутку) , тобто,
- ,
Формулу Родрігеса можна записати так:
Використовуючи розклад (потрійного векторного добутку), це можна записати як:
бо для нормалізованого вектора.
Остаточно, матриця повороту така:
Кватерніони і формула повороту
Якщо ми хочемо повернути на кут навколо , тоді ми можемо записати це як кватерніон Це одиничний кватерніон.
Тоді , що після виконання множень переходить у формулу повороту Родрігеса.
Див. також
Посилання
- Weisstein, Eric W. Формула повороту Родрігеса(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi trivimirnih obertan formula povorotu Rodrigesa nazvana na chest diyevij algoritm dlya obertannya vektora u prostori za zadanimi vissyu ta kutom Yaksho v displaystyle mathbf v vektor u R 3 displaystyle mathbb R 3 i k displaystyle mathbf k odinichnij vektor sho opisuye vis obertannya navkolo yakoyi mi hochemo povernuti v displaystyle mathbf v na kut 8 displaystyle theta to formula Rodrigesa maye viglyad v r o t v cos 8 k v sin 8 k k v 1 cos 8 displaystyle mathbf v mathrm rot mathbf v cos theta mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k mathbf k cdot mathbf v 1 cos theta VivedennyaFormula obertannya Rodrigesa obertaye v na kut 8 navkolo osi z cherez rozkladannya jogo na skladovi paralelni i perpendikulyarni do z i obertayuchi tilki perpendikulyarnu skladovu Dlya pevnoyi osi obertannya z yaka predstavlena odinichnim vektorom k kX kY kZ i vektorom v vX vY vZ yakij mi hochemo povernuti vektor v z k v k displaystyle mathbf v z mathbf k cdot mathbf v mathbf k ye skladovoyu v paralelnoyu do z takozh vidomoyu yak proyekciya vektora v na k i vektor v x v v z v k v k displaystyle mathbf v x mathbf v mathbf v z mathbf v mathbf k cdot mathbf v mathbf k ye proyekciyeyu v na ploshinu xy ortogonalnu do z vidomoyu yak vidkidannya vektora Zauvazhte sho mi vibrali sistemu vidliku xyz v yakij z vis virivnyana z vissyu povorotu a x vis z vidkidannyam vektora v vid k Ce sproshuye demonstraciyu bo ce maye na uvazi sho v lezhit u ploshini xz i jogo skladova vy ye nulem Odnak xyz ne zbigayetsya z XYZ v yakij vektori v k vx i vz predstavleni Napriklad v vX vY vZ vx vy vz Inakshe kazhuchi formula Rodrigesa nezalezhna vid oriyentaciyi v prostori sistemi vidliku XYZ u yakij v i k predstavleni Dali w k v displaystyle mathbf w mathbf k times mathbf v Zauvazhimo sho vx i w mayut odnu j tu samu dovzhinu Za viznachennyam vektornogo dobutku dovzhina w stanovit w k v k v sin f displaystyle mathbf w mathbf k times mathbf v mathbf k mathbf v sin varphi de f poznachaye kut mizh z i v z togo sho k maye odinichnu dovzhinu w k v v sin f displaystyle mathbf w mathbf k times mathbf v mathbf v sin varphi Ce zbigayetsya z dovzhinoyu vx obrahovanoyu trigonometrichno tak v x v cos p 2 f v sin f displaystyle mathbf v x mathbf v cos pi 2 varphi mathbf v sin varphi Otzhe w mozhna rozglyadati yak kopiyu vx obernutu na 90 navkolo z Vikoristovuyuchi trigonometriyu mi mozhemo povernuti vx na 8 navkolo z shob otrimati vx rot Jogo dva komponenti shodo x i y ye vxcos8 i wsin8 vidpovidno Takim chinom v x r o t v x cos 8 w sin 8 v k v k cos 8 k v sin 8 displaystyle begin aligned mathbf v x mathrm rot amp mathbf v x cos theta mathbf w sin theta amp mathbf v mathbf k cdot mathbf v mathbf k cos theta mathbf k times mathbf v sin theta end aligned vx rot takozh mozhna zapisati yak proyekciyu na xy vektora yakij mi povertayemo vrot Tomu sho povorot navkolo z ne zachipaye vz drugij komponent vrot tobto proyekciya na z zbigayetsya z vz Otzhe v r o t v x r o t v z r o t v x r o t v z v k v k cos 8 k v sin 8 k v k v cos 8 k v sin 8 k k v 1 cos 8 displaystyle begin aligned mathbf v mathrm rot amp mathbf v x mathrm rot mathbf v z mathrm rot amp mathbf v x mathrm rot mathbf v z amp mathbf v mathbf k cdot mathbf v mathbf k cos theta mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k cdot mathbf v mathbf k amp mathbf v cos theta mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k mathbf k cdot mathbf v 1 cos theta end aligned yak i vimagalos Matrichnij zapis Predstavivshi v i k u viglyadi vektor stovpciv i k displaystyle mathbf k yak matricyu vektornogo dobutku k displaystyle mathbf k times tobto k v k v 0 k 3 k 2 k 3 0 k 1 k 2 k 1 0 v displaystyle mathbf k times mathbf v mathbf k times mathbf v left begin array ccc 0 amp k 3 amp k 2 k 3 amp 0 amp k 1 k 2 amp k 1 amp 0 end array right mathbf v Formulu Rodrigesa mozhna zapisati tak v r o t v cos 8 k v sin 8 k k T v 1 cos 8 v cos 8 k v sin 8 k k T v 1 cos 8 displaystyle begin aligned mathbf v mathrm rot amp mathbf v cos theta mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k mathbf k mathsf T mathbf v 1 cos theta amp mathbf v cos theta mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k mathbf k mathsf T mathbf v 1 cos theta end aligned Vikoristovuyuchi rozklad potrijnogo vektornogo dobutku ce mozhna zapisati yak v r o t k v sin 8 k k T v v k k 1 cos 8 v k T k v k v sin 8 k k v 1 cos 8 displaystyle begin aligned mathbf v mathrm rot amp mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k mathbf k mathsf T mathbf v mathbf v mathbf k cdot mathbf k 1 cos theta mathbf v mathbf k mathsf T mathbf k amp mathbf v mathbf k times mathbf v sin theta mathbf k times mathbf k times mathbf v 1 cos theta end aligned bo k T k 1 displaystyle mathbf k mathsf T mathbf k 1 dlya normalizovanogo vektora Ostatochno matricya povorotu taka R I sin 8 k 1 cos 8 k k displaystyle mathbf R mathbf I sin theta mathbf k times 1 cos theta mathbf k times mathbf k times Kvaternioni i formula povorotuYaksho mi hochemo povernuti v displaystyle mathbf v na kut 8 displaystyle theta navkolo k displaystyle mathbf k todi mi mozhemo zapisati ce yak kvaternion q cos 8 2 sin 8 2 displaystyle q cos theta 2 sin theta 2 Ce odinichnij kvaternion Todi p r o t q v q 1 displaystyle p rot qvq 1 sho pislya vikonannya mnozhen perehodit u formulu povorotu Rodrigesa Div takozhKvaternioni i povoroti prostoruPosilannyaWeisstein Eric W Formula povorotu Rodrigesa angl na sajti Wolfram MathWorld