Троянда (плоска крива)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Троянда (значення).

Троянда — плоска крива, що нагадує символічне зображення квітки. Дана крива описується рівнянням в полярній системі координат у вигляді

Загальний вигляд полярної троянди при різних значеннях k

${\displaystyle \rho =a\sin k\varphi \,.}$

Тут ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle k}$ — сталі, що визначають розмір (a) і кількість пелюсток (k) даної троянди. Вся крива розташовується всередині кола радіуса ${\displaystyle a}$ і в разі ${\displaystyle k>1}$ складається з однакових за формою та розміром пелюсток.

Для цілого ${\displaystyle k}$ число пелюсток рівне ${\displaystyle k}$, якщо ${\displaystyle k}$ непарне і ${\displaystyle 2k}$, — якщо парне. Для дробового ${\displaystyle k}$ виду ${\displaystyle k={\frac {m}{n}}}$, де ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ взаємно прості, кількість пелюсток троянди рівне ${\displaystyle m}$, якщо обидва числа непарні і ${\displaystyle 2m}$, якщо б хоча б одне  — парне. При ${\displaystyle k}$ ірраціональному пелюсток нескінченно багато.

При значеннях ${\displaystyle k>1}$ троянда є гіпотрохоїдою, а при ${\displaystyle k<1}$ — епітрохоїдою.

Джерела

• Weisstein, Eric W., «Троянда» з MathWorld.