Тест другої похідної

Тест другої похідної — критерій для визначення коли критична точка дійсно значимої функції від однієї змінної є локальним максимумом чи мінімумом через використання другої похідної в точці.

Твердження: якщо функція f двічі диференційовна в критичній точці x (тобто f'(x) = 0), тоді:

• Якщо ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)<0}$ тоді ${\displaystyle \ f}$ має локальний максимум у ${\displaystyle \ x}$.
• Якщо ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)>0}$ тоді ${\displaystyle \ f}$ має локальний мінімум у ${\displaystyle \ x}$.
• Якщо ${\displaystyle \ f^{\prime \prime }(x)=0}$, тест непереконливий.

В останньому випадку, щоб визначити поведінку функції f поблизу x через вищі похідні можна використати теорему Тейлора

Доведення

Припустимо ми маємо ${\displaystyle f''(x)>0}$ (доведення для ${\displaystyle f''(x)<0}$ аналогічне). Згідно з умовою, ${\displaystyle f'(x)=0}$. Тоді

${\displaystyle 0<f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-0}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)}{h}}.}$

Отже, для достатньо малого h маємо

${\displaystyle {\frac {f'(x+h)}{h}}>0}$

що значить ${\displaystyle f'(x+h)<0}$ якщо h < 0 (інтуїтивно, f спадає по тому як наближається до x зліва), і ${\displaystyle f'(x+h)>0}$ якщо h > 0 (інтуїтивно, f зростає як ми йдемо праворуч від x). Тепер з теореми Ферма, ${\displaystyle f}$ має локальний мінімум у ${\displaystyle x}$.

Тест угнутості

Споріднене, але відмінне використання другої похідної полягає у визначені чи функція опукла або угнута в точці. Однак вона не надає інформації про точки перегину. Конкретно, двічі диференційовна функція f є опуклою якщо ${\displaystyle \ f''(x)>0}$ і угнутою якщо ${\displaystyle \ f''(x)<0}$. Зауважте, що якщо ${\displaystyle \ f(x)=x^{4}-x}$, тоді ${\displaystyle \ x=0}$ має нульову другу похідну і не є при цьому точкою перегину, тобто друга похідна не забезпечує нас достатньою інформацією для визначення чи є точка перегином.

Див. також

• Тест другої часткової похідної

Посилання

• Weisstein, Eric W. Тест другої похідної(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• (англ.)