Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Сферична теорема синусів установлює пропорційність між синусами сторін a, b, c і синусами протилежних цим сторонам кутів A, B, C сферичного трикутника:
Сферична теорема синусів є аналогом плоскої теореми синусів і перетворюється на останню в границі за малих довжин сторін трикутників порівняно з радіусом сфери.
Доведення за допомогою проєкцій.. На малюнку показано сферичний трикутник ABC на сфері радіуса R із центром у точці O. BP — перпендикуляр до площини великого кола, яке проходить через сторону b, BM — перпендикуляр до OC, BN — перпендикуляр до OA. За твердженням, оберненим до теореми про три перпендикуляри, PM — перпендикуляр до OC, PN — перпендикуляр до OA. Зауважимо, що кут PMB дорівнює π — C, крім того, BN = R sin c і BM = R sin a. Далі, проєктуємо BN і BM на BP, маємо:
Аналогічно отримуємо другу рівність.
Доказ, що спирається на вже доведені співвідношення між сторонами та кутами прямокутного сферичного трикутника. Опустимо з вершини C перпендикуляр CD = h на сторону с або її продовження. Виразимо h двома способами з виниклих при цьому прямокутних трикутників ACD і BCD:
Звідси отримуємо пропорцію
до якої аналогічно додаємо відношення третьої пари «сторона-кут».
Історія
Теорему синусів для сферичних трикутників сформульовано й доведено у творах низки математиків середньовічного Сходу, які жили в X столітті — Абу-ль-Вафи, [en] та [en]. Вона дозволила спростити розв'язання низки задач сферичної астрономії, які раніше розв'язували за допомогою теореми Менелая для чотирибічника.
Див. також
Примітки
- Наведено за виданням: Степанов Н.Н. Формулы синусов // Сферическая тригонометрия. — М.—Л. : , 1948. — С. 29—32. — 154 с.
Література
- Матвиевская Г. П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Sferichna teorema sinusiv ustanovlyuye proporcijnist mizh sinusami storin a b c i sinusami protilezhnih cim storonam kutiv A B C sferichnogo trikutnika sin a sin A sin b sin B sin c sin C displaystyle frac sin a sin A frac sin b sin B frac sin c sin C Sferichna teorema sinusiv ye analogom ploskoyi teoremi sinusiv i peretvoryuyetsya na ostannyu v granici za malih dovzhin storin trikutnikiv porivnyano z radiusom sferi Dovedennya Malyunok do dovedennya teoremi sinusiv za dopomogoyu proyekcij Dovedennya za dopomogoyu proyekcij Na malyunku pokazano sferichnij trikutnik ABC na sferi radiusa R iz centrom u tochci O BP perpendikulyar do ploshini velikogo kola yake prohodit cherez storonu b BM perpendikulyar do OC BN perpendikulyar do OA Za tverdzhennyam obernenim do teoremi pro tri perpendikulyari PM perpendikulyar do OC PN perpendikulyar do OA Zauvazhimo sho kut PMB dorivnyuye p C krim togo BN R sin c i BM R sin a Dali proyektuyemo BN i BM na BP mayemo B P B N sin B N P R sin c sin A displaystyle BP BN sin angle BNP R sin c sin A B P B M sin P M B R sin a sin p C R sin a sin C displaystyle BP BM sin angle PMB R sin a sin pi C R sin a sin C sin a sin A sin c sin C displaystyle frac sin a sin A frac sin c sin C Analogichno otrimuyemo drugu rivnist Dokaz sho spirayetsya na vzhe dovedeni spivvidnoshennya mizh storonami ta kutami pryamokutnogo sferichnogo trikutnika Opustimo z vershini C perpendikulyar CD h na storonu s abo yiyi prodovzhennya Virazimo h dvoma sposobami z viniklih pri comu pryamokutnih trikutnikiv ACD i BCD sin h sin b sin A sin a sin B displaystyle sin h sin b sin A sin a sin B Zvidsi otrimuyemo proporciyu sin a sin A sin b sin B displaystyle frac sin a sin A frac sin b sin B do yakoyi analogichno dodayemo vidnoshennya tretoyi pari storona kut IstoriyaTeoremu sinusiv dlya sferichnih trikutnikiv sformulovano j dovedeno u tvorah nizki matematikiv serednovichnogo Shodu yaki zhili v X stolitti Abu l Vafi en ta en Vona dozvolila sprostiti rozv yazannya nizki zadach sferichnoyi astronomiyi yaki ranishe rozv yazuvali za dopomogoyu teoremi Menelaya dlya chotiribichnika Div takozhRozv yazuvannya trikutnikiv Sferichna trigonometriya Teorema kosinusiv sferichna geometriya Teorema sinusivPrimitkiNavedeno za vidannyam Stepanov N N Formuly sinusov Sfericheskaya trigonometriya M L 1948 S 29 32 154 s LiteraturaMatvievskaya G P Ocherki istorii trigonometrii Tashkent Fan 1990