Рівняння Якобі — Маддена

Рівняння Якобі — Маддена — це діофантове рівняння

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}\,}$

яке 2008 року запропонували фізик Лі У. Якобі та математик Деніел Дж. Мадден. Змінні a, b, c і d можуть бути будь-якими цілими числами, додатними, від'ємними або 0. Якобі й Мадден показали, що є безліч розв'язків рівняння з усіма не рівними нулю змінними.

Історія

З кожного розв'язку рівняння Якобі — Маддена взаємно однозначно випливає деякий розв'язок рівняння

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=e^{4}\,}$,

яке вперше запропонував 1772 року Леонард Ейлер, який припустив, що чотири є найменшим числом (більшим від одиниці) четвертих степенів ненульових цілих чисел, які в сумі дають інший четвертий степінь. Ця гіпотеза, відома тепер як гіпотеза Ейлера, є природним узагальненням великої теореми Ферма; останню довів для четвертого степеня сам П'єр Ферма.

^[en] першим знайшов нескінченну послідовність розв'язків цього рівняння Ейлера з однією змінною рівною нулю, спростувавши гіпотезу Ейлера для випадку четвертого степеня.

Однак до публікації Якобі та Маддена було невідомо, чи існує нескінченна кількість розв'язків рівняння Ейлера четвертого степеня з усіма ненульовими змінними. Було відоме лише скінченне число таких розв'язків. 1964 року Сімха Брудно отримав один із таких розв'язків із розв'язку рівняння Якобі — Маддена:

${\displaystyle 5400^{4}+1770^{4}+(-2634)^{4}+955^{4}=(5400+1770-2634+955)^{4}.\,}$

Підхід

Якобі та Мадден почали з

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$

і тотожності,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}=2(a^{2}+ab+b^{2})^{2}}$.

Додавши ${\displaystyle (a+b)^{4}+(c+d)^{4}}$ до обох частин рівняння,

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+(a+b)^{4}+c^{4}+d^{4}+(c+d)^{4}=(a+b)^{4}+(c+d)^{4}+(a+b+c+d)^{4}}$

можна бачити, що це окремий випадок піфагорової трійки,

${\displaystyle (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}={\big (}(a+b)^{2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2}{\big )}^{2}={\tfrac {1}{4}}{\big (}(a+b)^{2}+(c+d)^{2}+(a+b+c+d)^{2}{\big )}^{2}}$

Вони потім використали розв'язок Брудно й еліптичну криву для побудови нескінченної серії розв'язків як рівняння Якобі — Маддена, так і рівняння Ейлера. На відміну від методу ^[en], в побудові використано ненульові значення змінних.

Якобі та Мадден помітили також, що інше початкове значення, таке як

${\displaystyle (-31764)^{4}+27385^{4}+48150^{4}+7590^{4}=(-31764+27385+48150+7590)^{4}\,,}$

яке знайшов Ярослав Вроблевський, дає іншу нескінченну серію розв'язків.

У серпні 2015 року Сейдзі Томіта оголосив про два нові розв'язки рівняння Якобі — Маддена з невеликими значеннями:

${\displaystyle 1229559^{4}+(-1022230)^{4}+1984340^{4}+(-107110)^{4}=(1229559-1022230+1984340-107110)^{4}\,,}$

${\displaystyle 561760^{4}+1493309^{4}+3597130^{4}+(-1953890)^{4}=(561760+1493309+3597130-1953890)^{4}\,.}$

Див. також

• ^[en]
• ^[en]
• Число таксі
• Піфагорова четвірка
• ^[en]

Примітки

1. Jacobi, Madden, 2008, с. 220–236.
2. Mathematicians find new solutions to an ancient puzzle. оригіналу за 1 березня 2012. Процитовано 17 січня 2019.
3. Будь-який нетривіальний розв'язок має включати як додатні, і від'ємні значення.
4. Elkies, 1988, с. 825–835.
5. Weisstein, Eric W. Diophantine Equation–4th Powers(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
6. Jaroslaw Wroblewski Database of solutions to the Euler’s equation [ 2019-10-17 у Wayback Machine.]
7. Brudno, 1964, с. 1027–1028.
8. Seiji Tomita, Solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [ 2018-01-19 у Wayback Machine.], 2010.
9. Seiji Tomita, New solutions of a^4 + b^4 + c^4 + d^4 = (a+b+c+d)^4 [ 2016-03-04 у Wayback Machine.], 2015.

Література

• Lee W. Jacobi, Daniel J. Madden. On ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$ // American Mathematical Monthly. — 2008. — Т. 115, вип. 3 (16 червня).
• ^[en]. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ // . — 1988. — Т. 51, вип. 184 (16 червня). — DOI:10.2307/2008781.
• Simcha Brudno. A further example of A⁴ + B⁴ + C⁴ + D⁴ = E⁴ // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1964. — Т. 60, вип. 04 (16 червня). — DOI:10.1017/S0305004100038470.