Ряд Ліувілля — Неймана

Ряд Ліуві́лля — Не́ймана в інтегральному численні — нескінченний ряд, що відповідає розв'язку інтегрального рівняння Фредгольма з неперервним малим ядром. Названий за іменами Жозефа Ліувілля і Карла Неймана.

Отримання ряду

Шукатимемо розв'язок рівняння Фредгольма

${\displaystyle u(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u(y)\,dy+f(x)}$

методом послідовних наближень, поклавши ${\displaystyle u^{(0)}(x)=f(x)}$:

${\displaystyle u^{(p)}(x)=\lambda \int \limits _{G}K(x,\;y)u^{(p-1)}(y)\,dy+f(x)=\lambda (Ku^{(p-1)})(x)+f(x),\quad p=1,\;2,\;\ldots }$

Останній вираз у формулі є операторним записом інтеграла. Методом математичної індукції перевіряється така рівність:

${\displaystyle u^{(p)}=\sum _{k=0}^{p}\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad p=0,\;1,\;\ldots }$

Функція ${\displaystyle (K^{p}f)(x)}$ називають ітераціями. Можна показати, що всі ітерації неперервні й обмежені на ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle \|K^{p}f\|_{C}=\|K(K^{p-1}f)\|_{C}\leqslant M\mathrm {mes} \,G\|K^{p-1}f\|_{C}\leqslant \ldots \leqslant (M\mathrm {mes} \,G)^{p}\|f\|_{C},\quad p=0,\;1,\;\ldots ,}$

де ${\displaystyle \mathrm {mes} \,G}$ — міра множини ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle M=\max _{G}|K(x,\;y)|}$.

З цієї оцінки випливає, що ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}(K^{k}f)(x),\quad x\in G,}$

називаний рядом Ліувілля — Неймана, мажорується числовим рядом

${\displaystyle \|f\|_{C}\sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}(M\mathrm {mes} \,G)^{k}={\frac {\|f\|_{C}}{1-|\lambda |M\mathrm {mes} \,G}},}$

який збігається в крузі ${\displaystyle |\lambda |<1/(M\mathrm {mes} \,G)}$, тому за таких ${\displaystyle \lambda }$ ряд Ліувілля — Неймана збігається регулярно (абсолютно і рівномірно). Це означає, що послідовні наближення ${\displaystyle u^{(p)}(x)}$ при ${\displaystyle p\to \infty }$ рівномірно прямують до шуканої функції ${\displaystyle u(x)}$.

Див. також

• Резольвента інтегрального рівняння
• Ряд Неймана

Література

• ^[ru], ^[ru]. Уравнения математической физики. — М. : ^[ru], 2004. — .

Посилання

• Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970), Mathematical methods of physics (2nd ed.), New York: W. A. Benjamin,
• Fredholm, Erik I. (1903), Sur une classe d'equations fonctionnelles (PDF), Acta Mathematica, 27: 365—390, doi:10.1007/bf02421317