Розподіл (диференціальна геометрія)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Розподіл.

Розподілом на многовиді ${\displaystyle M}$ називається підрозшарування дотичного розшарування многовиду. Іншими словами, у кожній точці ${\displaystyle x\in M}$ вибраний лінійний підпростір ${\displaystyle \Delta _{x}}$ дотичного простору ${\displaystyle T_{x}M}$ що гладко залежить від точки ${\displaystyle x}$.

Розподіли використовуються у теорії інтегровності і в теорії шарувань на многовидах.

Означення

Нехай ${\displaystyle M}$ — гладкий ${\displaystyle n}$-вимірний многовид і ${\displaystyle k\leq n}$. Припустимо, що у кожній точці ${\displaystyle x\in M}$ обрано ${\displaystyle k}$-вимірний підпростір ${\displaystyle \Delta _{x}\subset T_{x}(M)}$ дотичного простору такий, що у будь-якій точці ${\displaystyle x\in M}$ існує окіл ${\displaystyle U_{x}\subset M}$ і ${\displaystyle k}$ лінійно незалежних гладких векторних полів ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k}}$, причому для будь-якої точки ${\displaystyle y\in U_{x}}$, вектори ${\displaystyle X_{1}(y),\ldots ,X_{k}(y)}$ складають базис підпростору ${\displaystyle \Delta _{y}\subset T_{y}(M)}$.

У цьому випадку, сукупність ${\displaystyle \Delta }$ всіх підпросторів ${\displaystyle \Delta _{x}}$, ${\displaystyle x\in M}$, називається ${\displaystyle k}$-вимірним розподілом на многовиді ${\displaystyle M}$.

При цьому векторні поля ${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{k}\}}$ називаються локальним базисом розподілу ${\displaystyle \Delta .}$

Література

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М. : Наука.

Див. також

• Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія)