П'ятикутне число — це «фігурне число», яке розширює поняття трикутних і квадратних чисел до п'ятикутника, але, на відміну від перших двох, закономірності, що беруть участь у побудові п'ятикутних чисел, не обертально симетричні.
-е п'ятикутне число — це кількість різних точок у шаблоні точок, що складається з контурів правильних п'ятикутників зі сторонами до точок, коли п'ятикутники перекриваються так, що вони мають одну спільну вершину. Наприклад, третє п'ятикутне число утворюється з контурів, що містять 1, 5 і 10 точок, але перша точка та три з п'яти точок збігаються з трьома точками з десяти — залишаючи 12 різних точок, 10 у вигляді п'ятикутника і 2 всередині.
задається формулою:
для . Першими п'ятикутними числами є
1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187…
(див. послідовність A000326 в OEIS).
-е п'ятикутне число — це одна третя -го трикутного числа.
Узагальнені п'ятикутні числа отримують із наведеної вище формули, але з :
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335,..
(див. послідовність A001318 в OEIS).
Узагальнені п'ятикутні числа мають важливе значення для теорії Ейлера про розбиття, як це показано в його [[:en:Pentagonal number theorem}|теоремі про п'ятикутне число]]. Кількість точок всередині самого зовнішнього контору п'ятикутника, що утворює п'ятикутне число, само по собі є узагальненим п'ятикутним числом.
П'ятикутні числа не слід плутати з центрованими п'ятикутними числами .
Узагальнені п'ятикутні числа та центровані шестикутні числа
Узагальнені п'ятикутні числа тісно пов'язані з [en]. Коли множина точок, що відповідає центрованому шестикутному числу, розбивається між її середнім та сусіднім рядками, то число представляється як сума двох узагальнених п'ятикутних чисел, причому більше з них є просто п'ятикутним числом:
1=1+0 | 7=5+2 | 19=12+7 | 37=22+15 | |||
---|---|---|---|---|---|---|
У загальному випадку:
де обидва члени у правій частині співвідношення є узагальненими п'ятикутними числами, а перший доданок є просто п'ятикутним числом. Таке розбиття централізованих шестикутних масивів дає узагальнені п'ятикутні числа як трапецієподібні масиви, що може бути інтерпретовано як діаграми Феррера для її розбиття. Таким чином, її можна використовувати для доведення теореми про п'ятикутне число, яка згадувалася вище.
Перевірка щодо п'ятикутності числа
Для заданого додатного натурального числа , щоб перевірити, чи є це число п'ятикутним (неузагальненим), необхідно обчислити:
Число є п'ятикутним тоді і тільки тоді, коли — натуральне число. У цьому випадку — -е п'ятикутне число.
Тест на повний квадрат
Для узагальнених п'ятикутних чисел достатньо лише перевірити, чи є
повним квадратом. Для неузагальнених п'ятикутних чисел, крім перевірки на повний квадрат, необхідно також перевірити, що
Математичні властивості п'ятикутних чисел забезпечують, щоб ці перевірки були достатніми для доведення або спростування п'ятикутності числа.
Квадратні п'ятикутні числа
Квадратне п'ятикутне число — це п'ятикутне число, яке також є повним квадратом.
Першими квадратними п'ятикутними числами є:
0, 1, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801,…
Див. також
Примітки
- How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?
- Weisstein, Eric W. «Pentagonal Square Number.» From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
P yatikutne chislo ce figurne chislo yake rozshiryuye ponyattya trikutnih i kvadratnih chisel do p yatikutnika ale na vidminu vid pershih dvoh zakonomirnosti sho berut uchast u pobudovi p yatikutnih chisel ne obertalno simetrichni n displaystyle n e p yatikutne chislo pn displaystyle p n ce kilkist riznih tochok u shabloni tochok sho skladayetsya z konturiv pravilnih p yatikutnikiv zi storonami do n displaystyle n tochok koli p yatikutniki perekrivayutsya tak sho voni mayut odnu spilnu vershinu Napriklad tretye p yatikutne chislo p3 displaystyle p 3 utvoryuyetsya z konturiv sho mistyat 1 5 i 10 tochok ale persha tochka ta tri z p yati tochok zbigayutsya z troma tochkami z desyati zalishayuchi 12 riznih tochok 10 u viglyadi p yatikutnika i 2 vseredini Vizualne zobrazhennya pershih shesti p yatikutnih chisel pn displaystyle p n zadayetsya formuloyu pn 3n2 n2 displaystyle p n frac 3n 2 n 2 dlya n 1 displaystyle n geq 1 Pershimi p yatikutnimi chislami ye 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 176 210 247 287 330 376 425 477 532 590 651 715 782 852 925 1001 1080 1162 1247 1335 1426 1520 1617 1717 1820 1926 2035 2147 2262 2380 2501 2625 2752 2882 3015 3151 3290 3432 3577 3725 3876 4030 4187 div poslidovnist A000326 v OEIS n displaystyle n e p yatikutne chislo ce odna tretya 3n 1 displaystyle 3n 1 go trikutnogo chisla Uzagalneni p yatikutni chisla otrimuyut iz navedenoyi vishe formuli ale z n 0 1 1 2 2 3 3 4 displaystyle n 0 1 1 2 2 3 3 4 0 1 2 5 7 12 15 22 26 35 40 51 57 70 77 92 100 117 126 145 155 176 187 210 222 247 260 287 301 330 345 376 392 425 442 477 495 532 551 590 610 651 672 715 737 782 805 852 876 925 950 1001 1027 1080 1107 1162 1190 1247 1276 1335 div poslidovnist A001318 v OEIS Uzagalneni p yatikutni chisla mayut vazhlive znachennya dlya teoriyi Ejlera pro rozbittya yak ce pokazano v jogo en Pentagonal number theorem teoremi pro p yatikutne chislo Kilkist tochok vseredini samogo zovnishnogo kontoru p yatikutnika sho utvoryuye p yatikutne chislo samo po sobi ye uzagalnenim p yatikutnim chislom P yatikutni chisla ne slid plutati z centrovanimi p yatikutnimi chislami Uzagalneni p yatikutni chisla ta centrovani shestikutni chislaUzagalneni p yatikutni chisla tisno pov yazani z en Koli mnozhina tochok sho vidpovidaye centrovanomu shestikutnomu chislu rozbivayetsya mizh yiyi serednim ta susidnim ryadkami to chislo predstavlyayetsya yak suma dvoh uzagalnenih p yatikutnih chisel prichomu bilshe z nih ye prosto p yatikutnim chislom 1 1 0 7 5 2 19 12 7 37 22 15 U zagalnomu vipadku 3n n 1 1 12n 3n 1 12 1 n 3 1 n 1 n 1 displaystyle 3n n 1 1 frac 1 2 n 3n 1 frac 1 2 1 n 3 1 n 1 quad n geq 1 de obidva chleni u pravij chastini spivvidnoshennya ye uzagalnenimi p yatikutnimi chislami a pershij dodanok ye prosto p yatikutnim chislom Take rozbittya centralizovanih shestikutnih masiviv daye uzagalneni p yatikutni chisla yak trapeciyepodibni masivi sho mozhe buti interpretovano yak diagrami Ferrera dlya yiyi rozbittya Takim chinom yiyi mozhna vikoristovuvati dlya dovedennya teoremi pro p yatikutne chislo yaka zgaduvalasya vishe Perevirka shodo p yatikutnosti chislaDlya zadanogo dodatnogo naturalnogo chisla x displaystyle x shob pereviriti chi ye ce chislo p yatikutnim neuzagalnenim neobhidno obchisliti n 24x 1 16 displaystyle n frac sqrt 24x 1 1 6 Chislo x displaystyle x ye p yatikutnim todi i tilki todi koli n displaystyle n naturalne chislo U comu vipadku x displaystyle x n displaystyle n e p yatikutne chislo Test na povnij kvadrat Dlya uzagalnenih p yatikutnih chisel dostatno lishe pereviriti chi ye 24x 1 displaystyle 24x 1 povnim kvadratom Dlya neuzagalnenih p yatikutnih chisel krim perevirki na povnij kvadrat neobhidno takozh pereviriti sho 24x 1 5mod6 displaystyle sqrt 24x 1 equiv 5 qquad mod 6 Matematichni vlastivosti p yatikutnih chisel zabezpechuyut shob ci perevirki buli dostatnimi dlya dovedennya abo sprostuvannya p yatikutnosti chisla Kvadratni p yatikutni chislaKvadratne p yatikutne chislo ce p yatikutne chislo yake takozh ye povnim kvadratom Pershimi kvadratnimi p yatikutnimi chislami ye 0 1 94109401 903638458801 8676736387298001 83314021887196947001 799981229484128697805801 7681419682192581869134354401 73756990988431941623299373152801 poslidovnist A036353 v OEIS Div takozhShestikutni chisla Trikutni chisla Figurni chisla Klasi naturalnih chisel Leongard Ejler Pro chudovi vlastivosti p yatikutnih chisel PrimitkiHow do you determine if a number N is a Pentagonal Number Weisstein Eric W Pentagonal Square Number From MathWorld A Wolfram Web Resource