Піфагорова мозаїка (замощення двома квадратами) — замощення евклідової площини квадратами двох різних розмірів, у якому кожен квадрат дотикається до чотирьох квадратів іншого розміру своїми чотирма сторонами. Виходячи з цієї мозаїки, можна наочно довести теорему Піфагора, за що мозаїка й отримала назву піфагорової. Мозаїка часто використовується як візерунок для кахельної підлоги. В цьому контексті мозаїка відома також як візерунок класів.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek0yTDBGallXUmxiVjlRWlhKcGIyUnBZMTkwYVd4cGJtZGZZbmxmYzNGMVlYSmxjMTl2Wmw5MGQyOWZaR2xtWm1WeVpXNTBYM05wZW1WekxuTjJaeTh5TWpCd2VDMUJZMkZrWlcxZlVHVnlhVzlrYVdOZmRHbHNhVzVuWDJKNVgzTnhkV0Z5WlhOZmIyWmZkSGR2WDJScFptWmxjbVZ1ZEY5emFYcGxjeTV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell4TDBwaFkyOWlYMDlqYUhSbGNuWmxiSFJmTFY5VGRISmxaWFJmVFhWemFXTnBZVzV6WDJGMFgzUm9aVjlFYjI5eWQyRjVYMjltWDJGZlNHOTFjMlZmTFY5WFIwRXhOall5TWk1cWNHY3ZNakl3Y0hndFNtRmpiMkpmVDJOb2RHVnlkbVZzZEY4dFgxTjBjbVZsZEY5TmRYTnBZMmxoYm5OZllYUmZkR2hsWDBSdmIzSjNZWGxmYjJaZllWOUliM1Z6WlY4dFgxZEhRVEUyTmpJeUxtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Топологія і симетрія
Піфагорова мозаїка є єдиною мозаїкою з двома квадратами різного розміру, в якій жодні два квадрати не мають спільної сторони, і разом з тим будь-які два квадрати одного розміру можна відобразити один в одного симетрією мозаїки.
Топологічно піфагорова мозаїка має таку саму структуру, як і з квадратів і правильних восьмикутників. Менші за розміром квадрати в піфагоровій мозаїці суміжні чотирьом великим плиткам, як і квадрати зрізаної квадратної мозаїки, тоді як великі квадрати піфагорової мозаїки суміжні восьми сусідам, почергово великим і малим, так само, як восьмикутники зрізаної квадратної мозаїки. Однак ці дві мозаїки мають різні симетрії — зрізана квадратна мозаїка має діедральну симетрію відносно центра кожної плитки, тоді як піфагорова мозаїка має менший циклічний набір симетрій навколо відповідних точок, утворюючи симетрію p4. Мозаїка хіральна, що означає неможливість отримати її з дзеркального образу тільки паралельними перенесеннями і поворотами.
— мозаїка, в якій кожна плитка є правильним багатокутником і в якій існує симетрія, що відображає будь-яку вершину в будь-яку іншу вершину. Зазвичай від однорідної мозаїки вимагається додатково, щоб плитки стикалися ребро до ребра, але якщо це обмеження відкинути, то є вісім додаткових однорідних мозаїк — чотири утворюються з нескінченних стрічок квадратів або правильних трикутників, три утворюються з правильних трикутників і правильних шестикутників і восьма — піфагорова мозаїка.
Теорема Піфагора і розрізання
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemN3TDFCNWRHaGhaMjl5WldGdVgzUm9aVzl5WlcwdVoybG1Mekl5TUhCNExWQjVkR2hoWjI5eVpXRnVYM1JvWlc5eVpXMHVaMmxtLmdpZg==.gif)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlkyTDFCNWRHaGhaMjl5WldGdVgyUnBjM05sWTNScGIyNXpMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRZVhSb1lXZHZjbVZoYmw5a2FYTnpaV04wYVc5dWN5NXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Мозаїка названа піфагоровою, оскільки її використовували для доведення теореми Піфагора арабські математики дев'ятого століття і Сабіт ібн Курра, а в XIX столітті — британський математик-аматор . Якщо сторони двох квадратів, що утворюють мозаїку, позначити літерами і
, то найменшою відстанню між відповідними точками однакових квадратів буде
— довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, катети якого дорівнюють
і
. Наприклад, на малюнку зліва два квадрати піфагорової мозаїки мають довжини 5 і 12 одиниць, а довжина сторони накладеної квадратної мозаїки (червоні лінії) дорівнює 13, що відповідає піфагоровій трійці (5,12,13).
Шляхом накладання квадратної ґратки зі стороною на піфагорову мозаїку можна отримати розрізання двох нерівних квадратів зі сторонами
та
на п'ять частин, з яких можна скласти квадрат зі стороною
, це показує, що два менших квадрати в сумі мають таку саму площу, як і великий квадрат. Так само, накладення двох піфагорових мозаїк можна використати для розрізання двох нерівних квадратів на шість частин, з яких можна скласти два інших нерівних квадрати.
Аперіодичні перерізи
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHpMek5oTDFCNWRHaGhaMjl5WldGdVgzUnBiR2x1WjE5elpXTjBhVzl1TG5OMlp5OHlNakJ3ZUMxUWVYUm9ZV2R2Y21WaGJsOTBhV3hwYm1kZmMyVmpkR2x2Ymk1emRtY3VjRzVuLnBuZw==.png)
Хоча піфагорова мозаїка періодична (вона має квадратну ґратку паралельних переносів), її перетини можна використати для утворення одновимірних неперіодичних послідовностей.
У «блоковій побудові» аперіодичних послідовностей будується піфагорова мозаїка з двома квадратами, відношення довжин сторін яких ірраціональне (дорівнює ). У цьому випадку вибирають пряму, паралельну сторонам квадратів, і утворюється послідовність двійкових значень залежно від квадрата, який пряма перетинає: 0 відповідає перетину більшого квадрата, а 1 — перетину меншого квадрата. У цій послідовності кількості входжень нулів і одиниць відносяться як
. Цю пропорцію неможливо отримати періодичною послідовністю нулів і одиниць, оскільки
ірраціональне.
Якщо вибрати рівним золотому перетину, послідовність нулів і одиниць, утворена таким способом, має таку ж рекурсивну структуру, як [en] — її можна розбити на підрядки виду «01» і «0» (тобто без двох послідовних одиниць) і якщо ці два підрядки послідовно замінювати коротшими рядками «0» і «1», отримаємо інший рядок з такою самою структурою.
Пов'язані результати
За гіпотезою Келлера, будь-яка мозаїка з однакових квадратів на площині повинна містити два квадрати, які дотикаються ребро до ребра. Ніякі два квадрати піфагорової мозаїки не дотикаються ребро до ребра, але цей факт не порушує гіпотези Келлера, оскільки не всі квадрати однакові.
Піфагорову мозаїку можна узагальнити на тривимірний евклідів простір як замощення кубами двох різних розмірів, які дотикаються подібним чином. Аттіла Больчкей називає такі тривимірні замощення мозаїками Роджерса. Він висловив припущення, що в будь-якій розмірності, більше трьох, існує єдиний спосіб замощення простору гіперкубами двох різних розмірів з властивостями, аналогічними описаним вище (ніякі два гіперкуби не мають спільної сторони та будь-які два гіперкуби одного розміру можна відобразити один в одного симетрією мозаїки).
Бернс і [en] знайшли деякі [en], зокрема сніжинку Коха, які можна використати для замощення площини двома або більше копіями різних розмірів. Раніша стаття [en], Ґрюнбаума і [de] наводить інший приклад — опуклий п'ятикутник, який замощує площину тільки в комбінації двох розмірів. Хоча піфагорова мозаїка використовує квадрати двох різних розмірів, квадрати не мають таких самих властивостей, що й зазначені протоплитки, якими можна замостити площину тільки двома (і більше) плитками різних розмірів, оскільки площину можна замостити квадратами одного розміру.
Примітки
- Nelsen, 2003, с. 5–8.
- Wells, 1991, с. 260–261.
- Hopscotch: It's more than a kid's game. — Tile Inc., 2008. — 1 серпня. з джерела 31 січня 2012. Процитовано 2020-10-26..
- Martini, Makai, Soltan, 1998, с. 481–495.
- Grünbaum, Shephard, 1987, с. 171.
- Grünbaum, Shephard, 1987, с. 42.
- Grünbaum, Shephard, 1987, с. 73–74.
- Aguiló, Fiol, Fiol, 2000, с. 341–352.
- Grünbaum, Shephard, 1987, с. 94.
- Frederickson, 1997, с. 30–31.
- Steurer, Deloudi, 2009, с. 91–92.
- Достовірність цієї гіпотези для двовимірних мозаїк була відома вже Келлеру, але згодом було доведено, що для розмірностей вісім і вище гіпотеза хибна. Див. огляди результатів, пов'язаних з гіпотезою, в (Zong, 2005).
- Bölcskei, 2001, с. 317–326.
- Досон (Dawson, 1984) навів малюнок тривимірної мозаїки, яку приписує Роджерсу, але цитував статтю 1960 року Річарда Ґая.
- Burns, 1994, с. 193–196.
- Rigby, 1995, с. 560–561.
- Danzer, Grünbaum, Shephard, 1982, с. 568–570+583–585, Figure 3.
Література
- Walter Steurer, Sofia Deloudi. Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures. — Springer, 2009. — Т. 126. — С. 91–92. — (Springer Series in Materials Science) — . — DOI:
- David Wells. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. — New York : Penguin Books, 1991. — С. 260–261. — .
- Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Unilateral tilings of the plane with squares of three sizes // Beiträge zur Algebra und Geometrie. — 1998. — Т. 39, вип. 2 (29 червня). — С. 481–495..
- Branko Grünbaum, G. C. Shephard. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman, 1987. — С. 171.
- Francesc Aguiló, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodic tilings as a dissection method // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вип. 4 (29 червня). — С. 341–352. — DOI: .
- Greg N. Frederickson. Dissections: Plane & Fancy. — Cambridge University Press, 1997. — С. 30–31.
- Chuanming Zong. What is known about unit cubes // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 42, вип. 2 (29 червня). — С. 181–211. — (New Series). — DOI: .
- Attila Bölcskei. Filling space with cubes of two sizes // Publicationes Mathematicae Debrecen. — 2001. — Т. 59, вип. 3-4 (29 червня). — С. 317–326.
- R. J. M. Dawson. On filling space with different integer cubes // Journal of Combinatorial Theory. Series A. — 1984. — Т. 36, вип. 2 (29 червня). — С. 221–229. — DOI: .
- Chuanming Zong. What is known about unit cubes // Bulletin of the American Mathematical Society. — 2005. — Т. 42, вип. 2 (29 червня). — С. 181–211. — (New Series). — DOI: .
- Roger B. Nelsen. Paintings, plane tilings, and proofs // Math Horizons. — 2003. — Вип. November (29 червня). — С. 5–8.
- Передруковано в Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. — Mathematical Association of America, 2007. — С. 295–298. — (Spectrum Series) — .
- Див. також Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Charming proofs: a journey into elegant mathematics. — Mathematical Association of America, 2010. — Т. 42. — С. 168–169. — (Dolciani mathematical expositions) — .
- Aidan Burns. 78.13 Fractal tilings // Mathematical Gazette. — 1994. — Т. 78, вип. 482 (29 червня). — С. 193–196.
- John Rigby. 79.51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes // Mathematical Gazette. — 1995. — Т. 79, вип. 486 (29 червня). — С. 560–561.
- Danzer L., Grünbaum В., Shephard G. C. Unsolved Problems: Can All Tiles of a Tiling Have Five-Fold Symmetry? // The American Mathematical Monthly. — 1982. — Т. 89, вип. 8 (29 червня). — DOI: .
- Aguiló F., Fiol M. A., Fiol M. L. Periodic tilings as a dissection method // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вип. 4 (29 червня). — DOI: .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Pifagorova mozayika zamoshennya dvoma kvadratami zamoshennya evklidovoyi ploshini kvadratami dvoh riznih rozmiriv u yakomu kozhen kvadrat dotikayetsya do chotiroh kvadrativ inshogo rozmiru svoyimi chotirma storonami Vihodyachi z ciyeyi mozayiki mozhna naochno dovesti teoremu Pifagora za sho mozayika j otrimala nazvu pifagorovoyi Mozayika chasto vikoristovuyetsya yak vizerunok dlya kahelnoyi pidlogi V comu konteksti mozayika vidoma takozh yak vizerunok klasiv Pifagorova mozayikaVulichni muzikanti v dveryah bagatogo budinku ru 1665 Yak zauvazhiv Nelsen pidloga na cij kartini ye pifagorovoyu mozayikoyuTopologiya i simetriyaPifagorova mozayika ye yedinoyu mozayikoyu z dvoma kvadratami riznogo rozmiru v yakij zhodni dva kvadrati ne mayut spilnoyi storoni i razom z tim bud yaki dva kvadrati odnogo rozmiru mozhna vidobraziti odin v odnogo simetriyeyu mozayiki Topologichno pifagorova mozayika maye taku samu strukturu yak i z kvadrativ i pravilnih vosmikutnikiv Menshi za rozmirom kvadrati v pifagorovij mozayici sumizhni chotirom velikim plitkam yak i kvadrati zrizanoyi kvadratnoyi mozayiki todi yak veliki kvadrati pifagorovoyi mozayiki sumizhni vosmi susidam pochergovo velikim i malim tak samo yak vosmikutniki zrizanoyi kvadratnoyi mozayiki Odnak ci dvi mozayiki mayut rizni simetriyi zrizana kvadratna mozayika maye diedralnu simetriyu vidnosno centra kozhnoyi plitki todi yak pifagorova mozayika maye menshij ciklichnij nabir simetrij navkolo vidpovidnih tochok utvoryuyuchi simetriyu p4 Mozayika hiralna sho oznachaye nemozhlivist otrimati yiyi z dzerkalnogo obrazu tilki paralelnimi perenesennyami i povorotami mozayika v yakij kozhna plitka ye pravilnim bagatokutnikom i v yakij isnuye simetriya sho vidobrazhaye bud yaku vershinu v bud yaku inshu vershinu Zazvichaj vid odnoridnoyi mozayiki vimagayetsya dodatkovo shob plitki stikalisya rebro do rebra ale yaksho ce obmezhennya vidkinuti to ye visim dodatkovih odnoridnih mozayik chotiri utvoryuyutsya z neskinchennih strichok kvadrativ abo pravilnih trikutnikiv tri utvoryuyutsya z pravilnih trikutnikiv i pravilnih shestikutnikiv i vosma pifagorova mozayika Teorema Pifagora i rozrizannyaPlosha skladenogo za Perigalem z p yati chastin nizhnogo kvadrata dorivnyuye sumi plosh livogo i pravogo kvadrativRozrizuvannya na p yat chastin sho vikoristovuyetsya v dovedenni ru i Sabita ibn Kurri livoruch i en pravoruch Mozayika nazvana pifagorovoyu oskilki yiyi vikoristovuvali dlya dovedennya teoremi Pifagora arabski matematiki dev yatogo stolittya i Sabit ibn Kurra a v XIX stolitti britanskij matematik amator Yaksho storoni dvoh kvadrativ sho utvoryuyut mozayiku poznachiti literami a displaystyle a i b displaystyle b to najmenshoyu vidstannyu mizh vidpovidnimi tochkami odnakovih kvadrativ bude c displaystyle c dovzhina gipotenuzi pryamokutnogo trikutnika kateti yakogo dorivnyuyut a displaystyle a i b displaystyle b Napriklad na malyunku zliva dva kvadrati pifagorovoyi mozayiki mayut dovzhini 5 i 12 odinic a dovzhina storoni nakladenoyi kvadratnoyi mozayiki chervoni liniyi dorivnyuye 13 sho vidpovidaye pifagorovij trijci 5 12 13 Shlyahom nakladannya kvadratnoyi gratki zi storonoyu c displaystyle c na pifagorovu mozayiku mozhna otrimati rozrizannya dvoh nerivnih kvadrativ zi storonami a displaystyle a ta b displaystyle b na p yat chastin z yakih mozhna sklasti kvadrat zi storonoyu c displaystyle c ce pokazuye sho dva menshih kvadrati v sumi mayut taku samu ploshu yak i velikij kvadrat Tak samo nakladennya dvoh pifagorovih mozayik mozhna vikoristati dlya rozrizannya dvoh nerivnih kvadrativ na shist chastin z yakih mozhna sklasti dva inshih nerivnih kvadrati Aperiodichni pereriziAperiodichna poslidovnist utvorena z mozayiki utvorenoyi dvoma kvadratami dovzhini storin yakih utvoryuyut zolotu proporciyu Hocha pifagorova mozayika periodichna vona maye kvadratnu gratku paralelnih perenosiv yiyi peretini mozhna vikoristati dlya utvorennya odnovimirnih neperiodichnih poslidovnostej U blokovij pobudovi aperiodichnih poslidovnostej buduyetsya pifagorova mozayika z dvoma kvadratami vidnoshennya dovzhin storin yakih irracionalne dorivnyuye x displaystyle x U comu vipadku vibirayut pryamu paralelnu storonam kvadrativ i utvoryuyetsya poslidovnist dvijkovih znachen zalezhno vid kvadrata yakij pryama peretinaye 0 vidpovidaye peretinu bilshogo kvadrata a 1 peretinu menshogo kvadrata U cij poslidovnosti kilkosti vhodzhen nuliv i odinic vidnosyatsya yak x 1 displaystyle x colon 1 Cyu proporciyu nemozhlivo otrimati periodichnoyu poslidovnistyu nuliv i odinic oskilki x displaystyle x irracionalne Yaksho x displaystyle x vibrati rivnim zolotomu peretinu poslidovnist nuliv i odinic utvorena takim sposobom maye taku zh rekursivnu strukturu yak en yiyi mozhna rozbiti na pidryadki vidu 01 i 0 tobto bez dvoh poslidovnih odinic i yaksho ci dva pidryadki poslidovno zaminyuvati korotshimi ryadkami 0 i 1 otrimayemo inshij ryadok z takoyu samoyu strukturoyu Pov yazani rezultatiZa gipotezoyu Kellera bud yaka mozayika z odnakovih kvadrativ na ploshini povinna mistiti dva kvadrati yaki dotikayutsya rebro do rebra Niyaki dva kvadrati pifagorovoyi mozayiki ne dotikayutsya rebro do rebra ale cej fakt ne porushuye gipotezi Kellera oskilki ne vsi kvadrati odnakovi Pifagorovu mozayiku mozhna uzagalniti na trivimirnij evklidiv prostir yak zamoshennya kubami dvoh riznih rozmiriv yaki dotikayutsya podibnim chinom Attila Bolchkej nazivaye taki trivimirni zamoshennya mozayikami Rodzhersa Vin visloviv pripushennya sho v bud yakij rozmirnosti bilshe troh isnuye yedinij sposib zamoshennya prostoru giperkubami dvoh riznih rozmiriv z vlastivostyami analogichnimi opisanim vishe niyaki dva giperkubi ne mayut spilnoyi storoni ta bud yaki dva giperkubi odnogo rozmiru mozhna vidobraziti odin v odnogo simetriyeyu mozayiki Berns i en znajshli deyaki en zokrema snizhinku Koha yaki mozhna vikoristati dlya zamoshennya ploshini dvoma abo bilshe kopiyami riznih rozmiriv Ranisha stattya en Gryunbauma i de navodit inshij priklad opuklij p yatikutnik yakij zamoshuye ploshinu tilki v kombinaciyi dvoh rozmiriv Hocha pifagorova mozayika vikoristovuye kvadrati dvoh riznih rozmiriv kvadrati ne mayut takih samih vlastivostej sho j zaznacheni protoplitki yakimi mozhna zamostiti ploshinu tilki dvoma i bilshe plitkami riznih rozmiriv oskilki ploshinu mozhna zamostiti kvadratami odnogo rozmiru PrimitkiNelsen 2003 s 5 8 Wells 1991 s 260 261 Hopscotch It s more than a kid s game Tile Inc 2008 1 serpnya z dzherela 31 sichnya 2012 Procitovano 2020 10 26 Martini Makai Soltan 1998 s 481 495 Grunbaum Shephard 1987 s 171 Grunbaum Shephard 1987 s 42 Grunbaum Shephard 1987 s 73 74 Aguilo Fiol Fiol 2000 s 341 352 Grunbaum Shephard 1987 s 94 Frederickson 1997 s 30 31 Steurer Deloudi 2009 s 91 92 Dostovirnist ciyeyi gipotezi dlya dvovimirnih mozayik bula vidoma vzhe Kelleru ale zgodom bulo dovedeno sho dlya rozmirnostej visim i vishe gipoteza hibna Div oglyadi rezultativ pov yazanih z gipotezoyu v Zong 2005 Bolcskei 2001 s 317 326 Doson Dawson 1984 naviv malyunok trivimirnoyi mozayiki yaku pripisuye Rodzhersu ale cituvav stattyu 1960 roku Richarda Gaya Burns 1994 s 193 196 Rigby 1995 s 560 561 Danzer Grunbaum Shephard 1982 s 568 570 583 585 Figure 3 LiteraturaWalter Steurer Sofia Deloudi Crystallography of Quasicrystals Concepts Methods and Structures Springer 2009 T 126 S 91 92 Springer Series in Materials Science ISBN 978 3 642 01898 5 DOI 10 1007 978 3 642 01899 2 David Wells The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry New York Penguin Books 1991 S 260 261 ISBN 0 14 011813 6 Horst Martini Endre Makai Valeriu Soltan Unilateral tilings of the plane with squares of three sizes Beitrage zur Algebra und Geometrie 1998 T 39 vip 2 29 chervnya S 481 495 Branko Grunbaum G C Shephard Tilings and Patterns W H Freeman 1987 S 171 Francesc Aguilo Miquel Angel Fiol Maria Lluisa Fiol Periodic tilings as a dissection method American Mathematical Monthly 2000 T 107 vip 4 29 chervnya S 341 352 DOI 10 2307 2589179 Greg N Frederickson Dissections Plane amp Fancy Cambridge University Press 1997 S 30 31 Chuanming Zong What is known about unit cubes Bulletin of the American Mathematical Society 2005 T 42 vip 2 29 chervnya S 181 211 New Series DOI 10 1090 S0273 0979 05 01050 5 Attila Bolcskei Filling space with cubes of two sizes Publicationes Mathematicae Debrecen 2001 T 59 vip 3 4 29 chervnya S 317 326 R J M Dawson On filling space with different integer cubes Journal of Combinatorial Theory Series A 1984 T 36 vip 2 29 chervnya S 221 229 DOI 10 1016 0097 3165 84 90007 4 Chuanming Zong What is known about unit cubes Bulletin of the American Mathematical Society 2005 T 42 vip 2 29 chervnya S 181 211 New Series DOI 10 1090 S0273 0979 05 01050 5 Roger B Nelsen Paintings plane tilings and proofs Math Horizons 2003 Vip November 29 chervnya S 5 8 Peredrukovano v Deanna Haunsperger Stephen Kennedy The Edge of the Universe Celebrating Ten Years of Math Horizons Mathematical Association of America 2007 S 295 298 Spectrum Series ISBN 978 0 88385 555 3 Div takozh Claudi Alsina Roger B Nelsen Charming proofs a journey into elegant mathematics Mathematical Association of America 2010 T 42 S 168 169 Dolciani mathematical expositions ISBN 978 0 88385 348 1 Aidan Burns 78 13 Fractal tilings Mathematical Gazette 1994 T 78 vip 482 29 chervnya S 193 196 John Rigby 79 51 Tiling the plane with similar polygons of two sizes Mathematical Gazette 1995 T 79 vip 486 29 chervnya S 560 561 Danzer L Grunbaum V Shephard G C Unsolved Problems Can All Tiles of a Tiling Have Five Fold Symmetry The American Mathematical Monthly 1982 T 89 vip 8 29 chervnya DOI 10 2307 2320829 Aguilo F Fiol M A Fiol M L Periodic tilings as a dissection method American Mathematical Monthly 2000 T 107 vip 4 29 chervnya DOI 10 2307 2589179