Одноточкова компактифікація

Компактифіка́ція — операція в загальній топології, яка перетворює довільні топологічні простори на компактні.

1924 року Павло Сергійович Александров довів теорему, що локально компактний простір може бути доповнений єдиною («нескінченно віддаленою») точкою до компактного простору.

Визначення

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологічний простір, точка ${\displaystyle p\notin X}$ і ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{p\}}$. Визначимо топологію ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{*}}$ на ${\displaystyle X^{*}}$, оголошуючи множину в ${\displaystyle X^{*}}$ відкритою тоді і тільки тоді, коли вона належить ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ або є доповненням до замкненої компактної множини простору ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$.

Властивості

• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є компактним, оскільки будь-яке відкрите покриття ${\displaystyle U}$ простору ${\displaystyle X^{*}}$ містить відкриту множину, яка містить точку ${\displaystyle p}$, і доповнення до цієї відкритої множини покривається скінченним набором множин з ${\displaystyle U}$.
• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є T1-простором тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ є T1-простором.
• ${\displaystyle (X^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є T2-простором тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ є локально компактним T2-простором.
• Якщо ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,{\mathcal {T}})}$ — множина раціональних чисел з топологією, індукованою евклідовою топологією на множині дійсних чисел, то ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ не хаусдорфів, оскільки ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,{\mathcal {T}})}$ не є локально компактним простором. Наприклад візьмемо точки ${\displaystyle p\notin \mathbb {Q} ,x\in \mathbb {Q} .}$ Припустимо, що існують відкриті околи ${\displaystyle p\in U,x\in V}$ у ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ для яких ${\displaystyle U\cap V=\emptyset .}$ Відкрита множина ${\displaystyle V}$ має містити відкритий окіл виду ${\displaystyle V_{1}=(a,b)\cap \mathbb {Q} ,}$ де a, b є дійсними числами і ${\displaystyle x\in (a,b)}$. Також множина ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ^{*}\setminus U}$ за означенням одноточкової компактифікації є компактною підмножиною раціональних чисел і ${\displaystyle V_{1}\subset K.}$ Оскільки включення ${\displaystyle i:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ є неперервним відображенням у стандартних топологіях, то також ${\displaystyle K}$ є компакною підмножиною дійсних чисел, тобто обмеженою замкнутою підмножиною. Зокрема замикання ${\displaystyle V_{1}}$ у множині дійсних чисел є підмножиною ${\displaystyle K}$. Але це неможливо оскільки ${\displaystyle K}$ є підмножиною раціональних чисел. Тобто ${\displaystyle (a,b)\cap \mathbb {Q} }$ не може бути підмножиною ${\displaystyle K}$, а тому має перетинатися із ${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\setminus \{p\}}$ .
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є та .
• ${\displaystyle (\mathbb {Q} ^{*},{\mathcal {T}}^{*})}$ є KC-простором, тобто кожна його компактна підмножина є замкнутою. Якщо ${\displaystyle K}$ є компактною підмножиною, що не містить ${\displaystyle p}$ то вона є замкнутою за означенням одноточкової компактифікації. Якщо ${\displaystyle p\in K}$ і ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\setminus K}$ не є відкритою підмножиною то також ${\displaystyle \mathbb {Q} \setminus K}$ не є відкритою множиною раціональних чисел і тому ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap K}$ не є замкнутою підмножиною раціональних чисел. Оскільки ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є секвенційним простором, то існує точка ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} \setminus K}$ і послідовність ${\displaystyle x_{n}\in \mathbb {Q} \cap K}$, що збігається до ${\displaystyle x.}$ Тоді ${\displaystyle C=\{x\}\cup \{x_{n}\}}$ є компактною підмножиною у ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ і за означенням ${\displaystyle U=\mathbb {Q} ^{*}\setminus C}$ є відкритою множиною. Також можна вибрати такі околи ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ елементів послідовності, що ${\displaystyle U_{n}\cap U_{m}=\emptyset ,}$ для ${\displaystyle n\neq m}$. Тоді відкриті множини ${\displaystyle U,\{U_{n}\}}$ утворюють покриття ${\displaystyle K}$ із якого не можна вибрати скінченне підпокриття. Це протирічить тому, що ${\displaystyle K}$є компактною підмножиною. Тому ${\displaystyle K}$ має бути замкнутою.

Література

• ; (1995) [1978], (вид. reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN , MR 0507446 (приклади 34, 35)