Напівкубічна парабола

Напівкубічна парабола, або парабола Нейла — плоска алгебраїчна крива, що описується рівнянням

Напівкубічна парабола для різних значнь a.

${\displaystyle y^{2}=ax^{3}}$

в прямокутній системі координат. Параметричне рівняння напівкубічної параболи:

${\displaystyle x=t^{2},\ y=at^{3}}$

Властивості

• Окремим випадком напівкубічної параболи є еволюта параболи:

${\displaystyle x={3 \over 4}(2y)^{2 \over 3}+{1 \over 2}.}$

• Напівкубічна парабола є каустикою . Більше того, будь-яка каустика вигляду поблизу вершини добре наближається навікубічною параболою, що робить цю криву еталонною в теорії катастроф.
• Радіус кривини навікубічної параболи в початку координат дорівнює нулю.

Історія

Названа на честь , який знайшов в 1660 р. довжину її дуги. Це була перша крива, після кола, довжину дуги якої вдалось порахувати. Також вдалось помітити особливість — тіло, що рухається вниз по напівкубічній кривій під дією сили тяжіння проходить однакові відстані у вертикальному напрямі за однакові проміжки часу.

Джерела

Weisstein, Eric W. "Semicubical Parabola." із сайту MathWorld--A Wolfram Web Resource. [ 6 листопада 2010 у Wayback Machine.]

1. Calculus for the practical man by J. E. Thompson, 1946, сторінка 223