Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOW1MMlk0TDFWdWFXWnZjbTFmZEdsc2FXNW5YemN6TFhReUxuQnVaeTh5TURCd2VDMVZibWxtYjNKdFgzUnBiR2x1WjE4M015MTBNaTV3Ym1jPS5wbmc=.png)
Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.
Історія
Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі. Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.
Моделі в крузі і в кулі
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd3TDFCdmFXNWpZWEpsWDIxdlpHVnNMbk4yWnk4eU5UQndlQzFRYjJsdVkyRnlaVjl0YjJSbGJDNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл , перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.
Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:
де і
— вісь абсцис і ординат, відповідно.
Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.
Відстані
У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:
Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі ,
точки розташовано в такому порядку:
,
,
,
то відстань між точками
і
, у геометрії Лобачевського дорівнює
.
Моделі на півплощині й у півпросторі
В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.
Метрика площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд:
, де
і
— прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.
Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є півпростір, що лежить на цій площині.
Див. також
- Теорема Піка — інваріантна форма леми Шварца, що використовує відстані в конформно-евклідовій моделі.
- Ідеальний трикутник
Примітка
- (PDF). Архів оригіналу (PDF) за 20 березня 2022. Процитовано 1 травня 2021.
- Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232—255.
- Загалом можна не виокремлювати діаметри, оскільки, всі вказані об'єкти є узагальненими прямими, які можна відобразити одну на іншу за допомогою руху
Література
- [недоступне посилання — історія]
- Самаров К., Уроев В. «Модель Пуанкаре». — Журнал «Квант». — 1984 год. — номер 6. [ 18 липня 2020 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Konfo rmno evkli dova mode l abo mode l Puankare model prostoru Lobachevskogo Isnuyut riznovidi modeli v koli stereografichna proyekciya i na pivploshini dlya planimetriyi Lobachevskogo a takozh u kuli i v pivprostori dlya stereometriyi Lobachevskogo vidpovidno Zamoshennya ploshini Lobachevskogo pravilnimi trikutnikami Konformno evklidova model maye taku nazvu tomu sho giperbolichni kuti dorivnyuyut vidpovidnim kutam na evklidovij ploshini mizh vidpovidnimi pivdotichnimi Dlya proyektivnoyi modeli giperbolichni kuti dorivnyuyut evklidovim kutam lishe u viklyuchnih vipadkah napriklad taka rivnist ye u pochatku koordinat proyektivnoyi modeli IstoriyaCyu model yak i proektivnu model i model psevdosferi zaproponuvav Eudzhenio Beltrami Metriku v konformno evklidovij modeli vikoristano takozh u znamenitij lekciyi Rimana Pro gipotezi sho lezhat v osnovi geometriyi ale zv yazok z geometriyeyu Lobachevskogo viyaviv same Beltrami Zgodom Anri Puankare viyaviv zv yazki ciyeyi modeli z zadachami teoriyi funkcij kompleksnoyi zminnoyi sho dalo odne z pershih serjoznih zastosuvan geometriyi Lobachevskogo Modeli v kruzi i v kuliKonformno evklidova model u kruzi Za ploshinu Lobachevskogo prijmayetsya vnutrishnist kruga div mal v evklidovomu prostori mezha danogo kruga kolo nazivayetsya absolyutom Rol geodezichnih linij vikonuyut dugi kil a b b displaystyle a b b perpendikulyarnih do absolyutu i jogo diametri rol ruhiv peretvorennya oderzhuvani kombinaciyami inversij vidnosno kil dugi yakih sluzhat pryamimi Metrika ds displaystyle ds ploshini Lobachevskogo v konformno evklidovij modeli v odinichnomu kruzi ye ds2 4 1 x2 y2 2 dx2 dy2 displaystyle ds 2 frac 4 1 x 2 y 2 2 dx 2 dy 2 de x displaystyle x i y displaystyle y vis abscis i ordinat vidpovidno Analogichno dlya konformno evklidovoyi modeli v kuli rol absolyutu vikonuye obmezhuvalna sfera v trivimirnomu evklidovomu prostori a prostorom Lobachevskogo ye vnutrishnist kuli Vidstani U kompleksnih koordinatah na odinichnomu koli vidstani mozhna obchisliti za dopomogoyu takoyi formuli th 12 dh z w z w1 z w displaystyle mathop rm th tfrac 1 2 cdot d h z w left frac z w 1 z cdot bar w right Vidstan mozhna viraziti cherez podvijne vidnoshennya Yaksho na duzi w1 displaystyle w 1 z1 displaystyle z 1 tochki roztashovano v takomu poryadku w1 displaystyle w 1 w displaystyle w z displaystyle z z1 displaystyle z 1 to vidstan mizh tochkami w displaystyle w i z displaystyle z u geometriyi Lobachevskogo dorivnyuye dh z w ln z w1z z1 w w1w z1 displaystyle d h z w ln left frac z w 1 z z 1 frac w w 1 w z 1 right Modeli na pivploshini j u pivprostoriV modeli Puankare v pivploshini za ploshinu Lobachevskogo prijmayetsya verhnya pivploshina Pryama sho obmezhuye pivploshinu tobto vis abscis nazivayetsya absolyutom Rol pryamih vikonuyut pivkola z centrami na absolyuti sho mistyatsya v cij pivploshini i perpendikulyarni do absolyutu promeni sho pochinayutsya na nomu tobto vertikalni promeni Rol ruhiv peretvorennya oderzhuvani kompoziciyeyu skinchennogo chisla inversij iz centrom na absolyuti i osovih simetrij osi yakih perpendikulyarni do absolyutu Metrika ds displaystyle ds ploshini Lobachevskogo v konformno evklidovij modeli u verhnij pivploshini maye viglyad ds2 1v2 du2 dv2 displaystyle ds 2 frac 1 v 2 du 2 dv 2 de u displaystyle u i v displaystyle v pryamokutni koordinati vidpovidno paralelno i perpendikulyarno do absolyutu Vidpovidno v konformno evklidovij modeli v pivprostori rol absolyutu vikonuye ploshina v trivimirnomu evklidovomu prostori a prostorom Lobachevskogo ye pivprostir sho lezhit na cij ploshini Div takozhTeorema Pika invariantna forma lemi Shvarca sho vikoristovuye vidstani v konformno evklidovij modeli Idealnij trikutnikPrimitka PDF Arhiv originalu PDF za 20 bereznya 2022 Procitovano 1 travnya 2021 Eugenio Beltrami Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante Annali di Mat ser II 2 1868 232 255 Zagalom mozhna ne viokremlyuvati diametri oskilki vsi vkazani ob yekti ye uzagalnenimi pryamimi yaki mozhna vidobraziti odnu na inshu za dopomogoyu ruhuLiteratura nedostupne posilannya istoriya Samarov K Uroev V Model Puankare Zhurnal Kvant 1984 god nomer 6 18 lipnya 2020 u Wayback Machine