Лінійна залежність

Лінійно незалежні вектори (лінійна незалежність множини векторів) — множина векторів, які не утворюють тривіальних лінійних комбінацій рівних нулю.

Визначення

Якщо ${\displaystyle V\!}$ векторний простір над полем ${\displaystyle K\!}$ і множина векторів ${\displaystyle M\subseteq V\!}$.

• ${\displaystyle M\!}$ називається лінійно незалежною, якщо будь-яка його скінченна підмножина є лінійно незалежною.
• Скінченна множина ${\displaystyle \ M'=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація векторів дорівнює нулю тільки в тривіальному випадку, тобто:

${\displaystyle \forall a_{1},\cdots ,a_{n}\in K:\quad a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0\quad \iff \quad a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0.}$

• Якщо існує така лінійна комбінація векторів рівна нулю з хоча б одним ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$, то ${\displaystyle M'\!}$ називається лінійно залежною.

Властивості

• Якщо ${\displaystyle 0\in M}$, то ${\displaystyle M\!}$ є лінійно залежна.
• Якщо ${\displaystyle M\!}$ лінійно незалежна, то ${\displaystyle M'\!}$ лінійно незалежна для всіх ${\displaystyle M'\subseteq M}$.
• Якщо ${\displaystyle M\!}$ лінійно залежна, то ${\displaystyle M'\!}$ лінійно залежна для всіх ${\displaystyle M'\supseteq M}$.

Застосування

• Система лінійних алгебраїчних рівнянь має однозначний розв'язок тоді і тільки тоді, коли стовпці її матриці є лінійно незалежними.

• Ранг матриці дорівнює кількості її лінійно незалежних рядків чи стовпців.

• Базис векторного простору також є множиною лінійно незалежних векторів.

• Геометричний зміст:
  • Вектори ${\displaystyle {\vec {a}},\;{\vec {b}}}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.
  • Вектори ${\displaystyle {\vec {a}},\;{\vec {b}},\;{\vec {c}}}$ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

Джерела

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)