Локон Аньєзі

Локон Аньєзі — плоска крива третього порядку, геометричне місце точок ${\displaystyle M}$, для яких виконується співвідношення ${\displaystyle \textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}}$,

Локон Аньєзі

де ${\displaystyle OA}$ — діаметр кола, ${\displaystyle BC}$ — напівхорда цього кола, перпендикулярна до ${\displaystyle OA}$.

Свою назву "локон Аньєзі" крива отримала на честь італійської математикині Марії Гаетани Аньєзі, яка досліджувала цю криву.

Рівняння

${\displaystyle O=(0,0)}$, ${\displaystyle A=(0,a)}$

• У декартовій системі координат:

${\displaystyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$

Виведення  

Координати точки ${\displaystyle M}$, що лежить на локоні — ${\displaystyle x=BM}$, ${\displaystyle y=OB}$. ${\displaystyle OA=a}$ і за визначенням будуємо пропорцію

${\displaystyle \textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}}$

Звідси

${\displaystyle \textstyle BC={\frac {xy}{a}}}$

З іншого боку ${\displaystyle BC}$ може бути знайдений з рівняння кола:

${\displaystyle \textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}}$

Нам відомий ${\displaystyle y=OB}$, значить виражаємо ${\displaystyle x^{2}}$:

${\displaystyle \textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Прирівнюємо обидва вирази для ${\displaystyle BC}$:

${\displaystyle \textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}}$

Зводимо в квадрат, переносимо та виносимо ${\displaystyle y^{2}}$ за дужки:

${\displaystyle \textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay}$

Виражаємо y (y=0 не підходить за визначенням):

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}}$

• Параметричне рівняння:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{cases}}}$, де параметр ${\displaystyle \varphi }$ — кут між ${\displaystyle OA}$ і ${\displaystyle OC}$ , приймає значення: ${\displaystyle \varphi \in (-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}})}$

Виведення  

Координати точки ${\displaystyle M}$ однозначно визначаються кутом ${\displaystyle \varphi }$ між ${\displaystyle OB}$ і ${\displaystyle OC}$. Якщо ${\displaystyle OB=y}$, а ${\displaystyle BM=x}$, тоді за визначенням локону можна скласти пропорцію

${\displaystyle \textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}}$

${\displaystyle OA}$ за визначенням дорівнює ${\displaystyle a}$. З трикутника ${\displaystyle OBC}$: ${\displaystyle BC=y\,\operatorname {tg} \,\varphi }$, значить

${\displaystyle \textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg} \,\varphi }}}$

звідси ${\displaystyle x=a\,\operatorname {tg} \,\varphi }$. Цю формулу підставляємо в рівняння кривої:

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

${\displaystyle \textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg} ^{2}\,\varphi }}}$

Використавши тотожність, отримаємо

${\displaystyle y=a\cos ^{2}\varphi }$

Раціональна параметризація для кривої має вигляд:

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\cdot t\\y={\frac {a}{1+t^{2}}}\end{cases}}}$ ; параметр t приймає значення: ${\displaystyle t\in (-\infty ;+\infty )}$

• У полярній системі рівняння локону досить складне: щоб його знайти, треба розв'язати кубічне рівняння:

${\displaystyle \textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$

${\displaystyle \textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0}$

Однак отримана формула буде занадто складною і невкладистою, щоб мати якесь практичне значення.

Властивості

• Локон Аньєзі — крива третього порядку.
• Діаметр ${\displaystyle OA}$ єдина вісь симетрії кривої. Вісь Ох — її асимптота.
• Крива має один максимум — ${\displaystyle A(0;a)}$ і дві точки перегину — ${\displaystyle \textstyle P_{1,2}\left(\pm {\frac {a}{\sqrt {3}}};{\frac {3a}{4}}\right)}$ . Вони лежать на прямих ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}\cdot x}$ (кут ${\displaystyle \varphi =\pm {\frac {\pi }{6}}}$) ^{:стор.238}

• В околі вершини ${\displaystyle A}$ локон наближається до кола діаметром ${\displaystyle OA}$. У точці ${\displaystyle A}$ відбувається дотик, і крива збігається з колом. Це показує значення радіуса кривини в точці ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle \textstyle R_{A}={\frac {a}{2}}}$.
• Площа під графіком (між кривою і асимптотою): ${\displaystyle S=\pi a^{2}}$. ^{:стор.238} Вона обчислюється інтегруванням рівняння по всій числовій прямій ${\displaystyle \textstyle \mathbb {R} }$ , і дорівнює площі визначального круга, помноженій на 4.

Центр мас фігури, обмеженої кривою та її асимптотою лежить на осі симетріі, на відстані ${\displaystyle {\frac {a}{4}}}$ від асимптоти, тобто в точці з координатами ${\displaystyle \left(0;{\frac {a}{4}}\right)}$ ^{:стор.238}

Найбільший за площею прямокутник, який можна вписати між кривою та її асимптотою, має висоту, що дорівнює радіусу визначального кола, і ширину, що дорівнює подвоєному діаметру кола. Його площа: ${\displaystyle S=a^{2}}$.

• Об'єм тіла, утвореного обертанням кривої навколо своєї асимптоти (осі ${\displaystyle OX}$): ${\displaystyle \textstyle V={\frac {\pi ^{2}}{2}}a^{3}}$.^{:стор.238} . Цей об'єм вдвічі більше за об'єм тора, утвореного при обертанні визначального кола локона навколо цієї ж прямої.

Побудова

Побудова локону Аньєзі

1. Будуємо коло діаметром ${\displaystyle OA=a}$ і через нижню точку кола О проводимо дотичну Ox.
2. Через верхню точку кола A (діаметрально протилежну до О) проводимо пряму, паралельну до Ох.
3. Через точку О проводимо січну ОL, яка перетинає коло в точці C і верхню пряму в точці L.
4. Через точку C проводимо пряму, паралельну до Ох, а через L проводимо пряму, паралельну до діаметра ОA. Ці дві прямі перетинаються в точці M, яка належить локону Аньєзі.

Споріднена крива

Крива, що носить назву "псевдо-локон" утворюється шляхом подвоєння ординат локона Аньєзі. Цю криву досліджував Дж. Грегорі в 1658 і використовував Готфрід Лейбніц у 1674 році, виводячи вираз: ^{:стор.238}

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+...}$

Див. також

• Крива
• Кубика
• Розподіл Коші

Примітки

1. Lawrence, J. Dennis (2013), 4.3 Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), A Catalog of Special Plane Curves, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, с. 90—93, ISBN 
2. Yates, Robert C. (1954), Witch of Agnesi, Curves and their Properties (PDF), Classics in Mathematics Education, т. 4, National Council of Teachers of Mathematics, с. 237—238
3. Larsen, Harold D. (January 1946), The Witch of Agnesi, School Science and Mathematics, 46 (1): 57—62, doi:10.1111/j.1949-8594.1946.tb04418.x
4. Witch of Agnesi (PDF) (англ) .{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з параметром url-status, але без параметра archive-url ()

Посилання

• Weisstein, Eric W. Witch of Agnesi(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Witch of Agnesi [ 8 грудня 2011 у Wayback Machine.] by Chris Boucher based on work by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
• The Witch of Agnesi [ 7 червня 2011 у Wayback Machine.] - Mathforum.org Java applet
• Witch of Agnesi Encyclopedia of Mathematics.
• WITCH OF AGNESI - MATHCURVE.COM
• MacTutor History of Mathematics Archive. "Witch of Agnesi."
• Xah Lee. Witch of Agnesi