Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
У комутативній алгебрі лема про уникнення простих ідеалів стверджує:
- Нехай R — комутативне кільце і I — ідеал у кільці R, який є підмножиною об'єднання скінченної кількості простих ідеалів P1, … , Pn. Тоді I міститься у деякому із простих ідеалів Pi.
Існує також версія для градуйованих кілець:
- Нехай B — комутативне градуйоване кільце з одиницею. Нехай P1, … , Pn є простими ідеалами кільця B і I є однорідним ідеалом у B породженим елементами додатного порядку. Припустимо кожен однорідний елемент ідеалу I належить об'єднанню ідеалів Pi. Тоді I є підмножиною одного із ідеалів Pi.
Лема найчастіше використовується у такому виді: якщо ідеал I не є підмножиною жодного простого ідеалу Pi, то існує елемент у I, що не належить жодному із Pi.
В алгебричній геометрії, внаслідок леми, якщо у афінній схемі SpecR є задано скінченна кількість точок, що не належать замкнутій множині V(I), тоді ці точки також не належать деякій замкнутій множині V(f), що містить V(I). З версії для градуйованих кілець випливає, що у проективному многовиді кожна скінченна множина точок належить деякій відкритій афінній підмножині.
Доведення
Доведення здійснюється індукцією по кількості простих ідеалів n. Для n = 1, твердження є тривіальним. Припустимо, що лема є доведеною для n – 1 (n > 1) і ідеал I не міститься у жодному Pi. Згідно припущення індукції для всіх k ≤ n існує елемент xk ідеалу I який не належить об'єднанню Pi для i ≠ k. Тоді для всіх k також 
(в іншому випадку I не буде підмножиною об'єднання всіх простих ідеалів). Розглянемо елемент x = xn + x1x2…xn–1 ідеалу I. Тоді xn ∈ Pn і x1x2…xn–1 ∉ Pn (оскільки Pn є простим ідеалом) тому x ∉ Pn. Також для всіх k < n, xn ∉ Pk і x1x2…xn–1 ∈ Pk, тож x ∉ Pk. Тому, x не є елементом жодного Pi, що завершує доведення.
Приклад
Загалом твердження леми буде невірним, якщо замість простих ідеалів взяти довільні.
Нехай 
і розглянемо ідеали 
і 
Тоді I міститься у об'єднанні Ji (це можна перевірити у факторкільці 
яке є локальним кільцем із 4 елементами), але I не міститься у жодному Ji.
Проте якщо R містить нескінченне поле, чи є кільцем головних ідеалів, то Pi можуть бути довільними ідеалами.
Література
- Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 39, Cambridge University Press, ISBN , MR 1251956
- Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (вид. 2nd), Cambridge University Press, ISBN , MR 0879273
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U komutativnij algebri lema pro uniknennya prostih idealiv stverdzhuye Nehaj R komutativne kilce i I ideal u kilci R yakij ye pidmnozhinoyu ob yednannya skinchennoyi kilkosti prostih idealiv P1 Pn Todi I mistitsya u deyakomu iz prostih idealiv Pi Isnuye takozh versiya dlya gradujovanih kilec Nehaj B komutativne gradujovane kilce z odiniceyu Nehaj P1 Pn ye prostimi idealami kilcya B i I ye odnoridnim idealom u B porodzhenim elementami dodatnogo poryadku Pripustimo kozhen odnoridnij element idealu I nalezhit ob yednannyu idealiv Pi Todi I ye pidmnozhinoyu odnogo iz idealiv Pi Lema najchastishe vikoristovuyetsya u takomu vidi yaksho ideal I ne ye pidmnozhinoyu zhodnogo prostogo idealu Pi to isnuye element u I sho ne nalezhit zhodnomu iz Pi V algebrichnij geometriyi vnaslidok lemi yaksho u afinnij shemi SpecR ye zadano skinchenna kilkist tochok sho ne nalezhat zamknutij mnozhini V I todi ci tochki takozh ne nalezhat deyakij zamknutij mnozhini V f sho mistit V I Z versiyi dlya gradujovanih kilec viplivaye sho u proektivnomu mnogovidi kozhna skinchenna mnozhina tochok nalezhit deyakij vidkritij afinnij pidmnozhini DovedennyaDovedennya zdijsnyuyetsya indukciyeyu po kilkosti prostih idealiv n Dlya n 1 tverdzhennya ye trivialnim Pripustimo sho lema ye dovedenoyu dlya n 1 n gt 1 i ideal I ne mistitsya u zhodnomu Pi Zgidno pripushennya indukciyi dlya vsih k n isnuye element xk idealu I yakij ne nalezhit ob yednannyu Pi dlya i k Todi dlya vsih k takozh x k P k displaystyle x k in P k v inshomu vipadku I ne bude pidmnozhinoyu ob yednannya vsih prostih idealiv Rozglyanemo element x xn x1x2 xn 1 idealu I Todi xn Pn i x1x2 xn 1 Pn oskilki Pn ye prostim idealom tomu x Pn Takozh dlya vsih k lt n xn Pk i x1x2 xn 1 Pk tozh x Pk Tomu x ne ye elementom zhodnogo Pi sho zavershuye dovedennya PrikladZagalom tverdzhennya lemi bude nevirnim yaksho zamist prostih idealiv vzyati dovilni Nehaj R Z X Y displaystyle R mathbb Z X Y i rozglyanemo ideali I 2 R X R Y R displaystyle I 2R XR YR i J 1 2 R X 2 R Y R J 2 2 R X R Y 2 R J 3 2 R X Y R X 2 R Y 2 R X Y R displaystyle J 1 2R X 2 R YR quad J 2 2R XR Y 2 R quad J 3 2R X Y R X 2 R Y 2 R XYR Todi I mistitsya u ob yednanni Ji ce mozhna pereviriti u faktorkilci R 2 R X 2 R Y 2 R X Y R displaystyle R 2R X 2 R Y 2 R XYR yake ye lokalnim kilcem iz 4 elementami ale I ne mistitsya u zhodnomu Ji Prote yaksho R mistit neskinchenne pole chi ye kilcem golovnih idealiv to Pi mozhut buti dovilnimi idealami LiteraturaBruns Winfried Herzog Jurgen 1993 Cohen Macaulay Rings Cambridge Studies in Advanced Mathematics t 39 Cambridge University Press ISBN 978 0 521 41068 7 MR 1251956 Matsumura Hideyuki 1989 Commutative Ring Theory Cambridge Studies in Advanced Mathematics vid 2nd Cambridge University Press ISBN 978 0 521 36764 6 MR 0879273