Крива Персея

Крива́ Персе́я (спіричний перетин, спірична лінія, від дав.-гр. σπειρα — тор) — лінія перетину поверхні тора площиною, паралельною до осі обертання тора; (плоска) алгебрична крива 4-го порядку. Залежно від відстані січної площини до осі тора, криві можуть мати форми «опуклих» та «увігнутих» овалів, «вісімок» та двох окремих овалів.

Криві Персея як переріз тора площиною

Три кривих Персея:
${\displaystyle a=1,b=2,c=0}$
${\displaystyle a=1,b=2,c=0{,}8}$
${\displaystyle a=1,b=2,c=1}$

Вперше цей підклас ^[en] вивчався давньогрецьким геометром Персеєм близько 150 року до н. е., через приблизно 200 років після перших досліджень конічних перетинів Менехмом. Повторно описані у XVII столітті лемніската Бута («опуклий овал») і овал Кассіні («вісімка») — є частковими випадками кривої Персея.

Рівняння кривої у декартовій системі координат:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=ax^{2}+by^{2}+c}$.

Інша форма рівняння у декартових координатах:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+c^{2}+x^{2}+y^{2})^{2}=4r^{2}(x^{2}+c^{2})}$,

тут ${\displaystyle a}$ — радіус кола, обертанням якого уздовж кола з радіусом ${\displaystyle r}$ утворений тор. При ${\displaystyle c=0}$ крива складається з двох кіл радіуса ${\displaystyle a}$ з центрами ${\displaystyle (\pm r,0)}$; при ${\displaystyle c=r+a}$ крива вироджується у точку — початок координат, якщо ж ${\displaystyle c>r+a}$ — то крива складається з порожньої множини точок.

Також можна визначити криву Персея як ^[en], симетричну відносно осей ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$.

Рівняння у полярних координатах:

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})}$,

або

${\displaystyle r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f}$.

Примітки

1. Stillwell, 2010, с. 32.
2. Савелов А. А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство). — М.: Физматгиз, 1960. — 294 с.
3. Stillwell, 2010, с. 33.
4. MacTutor, 1997.
5. Низка часткових випадків рівняння не є перетином тора
6. Бициркулярная кривая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп. т.). — СПб., 1890—1907. (рос. дореф.)

Джерела

• John Stillwell. Mathematics and Its History. — Springer-Verlag, 2010. — С. 33. — .

Посилання

• Weisstein, Eric W. Spiric Section(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• . MacTutor History. 1 січня 1997. Архів оригіналу за 26 жовтня 2019. Процитовано 12 квітня 2020.
• Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Perseus в архіві MacTutor (англ.)