Конформне відображення — неперервне відображення, що зберігає кути. Більш формально, неперервне відображення області G n-вимірного евклідового простору в n-вимірний евклідовий простір називається конформним в точці , якщо воно в цій точці має властивість збереження кутів, тобто будь-яка пара неперервних кривих , що розташовані в G і перетинаються в точці під кутом . (Мають дотичні в точці , що утворюють між собою кут ), при даному відображенні переходить в пару неперервних кривих що перетинаються в точці під тим же кутом Неперервне відображення області G називається конформним, якщо воно є конформним в кожній точці цієї області.
Комплексний випадок
У найважливішому випадку n = 2 область G і її образ f(G) при відображенні f лежать у площині, яку зручно розглядати як площину комплексної змінної z; відповідно відображення w = f (z) є комплекснозначною функцією комплексної змінної При цьому якщо в точці відображення w = f (z) зберігає кути, то криволінійні кути з вершиною при цьому відображенні або всі зберігають свою абсолютну величину і знак, або всі зберігають свою абсолютну величину, змінюючи знак на протилежний.
Якщо відображення є конформним в точці то існує скінченна границя відношення тобто існує похідна При додатковому припущенні правильним є і оберенене твердження. Тобто відображення w = j (z) є конформним в області G скінченної комплексної площини тоді і тільки тоді, коли функція є аналітичною і в G
Таким чином, якщо існує , то кожен нескінченно малий вектор з початком у точці при відображенні w = f (z) розтягується в раз, повертається на кут і паралельно зсувається на вектор ; нескінченно малі кола з центром ; переходять у нескінченно малі кола.
Якщо неперервні відображення w = f(z) є однолистим (тобто взаємно-однозначним) і коефіцієнт розтягнення в кожній точці буде однаковим в усіх напрямках, то або f(z), або є аналітичною функцією, похідна якої усюди в G відмінна від нуля.
Простори вищої розмірності
Конформні відображення областей n-вимірного евклідового простору при утворюють досить вузький клас так званих мебіусових відображень, кожне з яких згідно з [en] утворюється композицією відображення гомотетії, ізометрії і спеціального конформного відображення, що є композицією відбиття і інверсії щодо сфери.
Див. також
Література
- Иванов В.И., Попов В.Ю. Конформные отображения МГУ, УРСС, 2002 334 с.
- Ahlfors, Lars V. (1973), Conformal invariants: topics in geometric function theory, New York: McGraw-Hill Book Co
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Konformne vidobrazhennya neperervne vidobrazhennya sho zberigaye kuti Bilsh formalno neperervne vidobrazhennya oblasti G n vimirnogo evklidovogo prostoru v n vimirnij evklidovij prostir nazivayetsya konformnim v tochci z 0 G displaystyle z 0 in G yaksho vono v cij tochci maye vlastivist zberezhennya kutiv tobto bud yaka para neperervnih krivih l 1 l 2 displaystyle l 1 l 2 sho roztashovani v G i peretinayutsya v tochci z 0 displaystyle z 0 pid kutom a displaystyle alpha Mayut dotichni v tochci z 0 displaystyle z 0 sho utvoryuyut mizh soboyu kut a displaystyle alpha pri danomu vidobrazhenni perehodit v paru neperervnih krivih L 1 L 2 displaystyle L 1 L 2 sho peretinayutsya v tochci w 0 f z 0 displaystyle w 0 f z 0 pid tim zhe kutom a displaystyle alpha Neperervne vidobrazhennya oblasti G nazivayetsya konformnim yaksho vono ye konformnim v kozhnij tochci ciyeyi oblasti Konformne vidobrazhennya liniyi sho peretinayutsya pid kutom 90 perehodyat u krivi sho peretinayutsya pid kutom 90 Kompleksnij vipadokU najvazhlivishomu vipadku n 2 oblast G i yiyi obraz f G pri vidobrazhenni f lezhat u ploshini yaku zruchno rozglyadati yak ploshinu kompleksnoyi zminnoyi z vidpovidno vidobrazhennya w f z ye kompleksnoznachnoyu funkciyeyu kompleksnoyi zminnoyi Pri comu yaksho v tochci z 0 displaystyle z 0 vidobrazhennya w f z zberigaye kuti to krivolinijni kuti z vershinoyu z 0 displaystyle z 0 pri comu vidobrazhenni abo vsi zberigayut svoyu absolyutnu velichinu i znak abo vsi zberigayut svoyu absolyutnu velichinu zminyuyuchi znak na protilezhnij Yaksho vidobrazhennya w f z displaystyle w f z ye konformnim v tochci z 0 displaystyle z 0 to isnuye skinchenna granicya vidnoshennya f z f z 0 z z 0 displaystyle frac f z f z 0 z z 0 tobto isnuye pohidna f z 0 displaystyle f z 0 Pri dodatkovomu pripushenni f z 0 0 displaystyle f z 0 neq 0 pravilnim ye i oberenene tverdzhennya Tobto vidobrazhennya w j z ye konformnim v oblasti G skinchennoyi kompleksnoyi ploshini C displaystyle mathbb C todi i tilki todi koli funkciya f z z G displaystyle f z z in G ye analitichnoyu i v G f z 0 0 displaystyle f z 0 neq 0 Takim chinom yaksho isnuye f z 0 0 displaystyle f z 0 neq 0 to kozhen neskinchenno malij vektor z pochatkom u tochci z 0 displaystyle z 0 pri vidobrazhenni w f z roztyaguyetsya v k z 0 f f z 0 displaystyle k z 0 f f z 0 raz povertayetsya na kut a r g f z 0 displaystyle argf z 0 i paralelno zsuvayetsya na vektor f z 0 z 0 displaystyle f z 0 z 0 neskinchenno mali kola z centrom z 0 displaystyle z 0 perehodyat u neskinchenno mali kola Yaksho neperervni vidobrazhennya w f z ye odnolistim tobto vzayemno odnoznachnim i koeficiyent roztyagnennya v kozhnij tochci bude odnakovim v usih napryamkah to abo f z abo f z displaystyle bar f z ye analitichnoyu funkciyeyu pohidna yakoyi usyudi v G vidminna vid nulya Prostori vishoyi rozmirnostiKonformni vidobrazhennya oblastej n vimirnogo evklidovogo prostoru pri n 3 displaystyle n geqslant 3 utvoryuyut dosit vuzkij klas tak zvanih mebiusovih vidobrazhen kozhne z yakih zgidno z en utvoryuyetsya kompoziciyeyu vidobrazhennya gomotetiyi izometriyi i specialnogo konformnogo vidobrazhennya sho ye kompoziciyeyu vidbittya i inversiyi shodo sferi Div takozhGolomorfna funkciya Difeomorfizm Teorema Rimana pro vidobrazhennya Konformna grupaLiteraturaIvanov V I Popov V Yu Konformnye otobrazheniya MGU URSS 2002 334 s Ahlfors Lars V 1973 Conformal invariants topics in geometric function theory New York McGraw Hill Book Co Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi