Змішаний об'єм в опуклій геометрії — невід'ємне число, яке співставляється набору з опуклих тіл в -мірному Евклідовому просторі. Число залежить від розмірів тіл та їх взаємного положення.
Змішаний об'єм набору зазвичай позначається як
- .
Визначення
Нехай набір з опуклих тіл в і додатних дійсних чисел. Позначимо через об'єм тіла
де ""означає суму Мінковського і
Функція є однорідним многочленом степені . Коефіцієнт цього многочлена при за визначенням дорівнює .
Зауважимо, що
Властивості
- Для довільних невід'ємних чисел ,
- Змішаний об'єм інваріантний відносно паралельних переміщень тіл в наборі.
- Змішаний об'єм монотонний з включенням тіл.
- Змішаний об'єм неперервний відносно метрики Гаусдорфа.
- Змішаний об'єм невід'ємний.
- Більше того, тільки тоді, коли в кожному можна провести по відрізку так, щоб ці відрізки були
- Для невід'ємного цілого змішаний об'єм копій опуклого тіл в і копій одиничної кулі виражається через -у . Зокрема
- Змішаний об'єм набору з копій дорівнює звичайному об'єму .
- Змішаний об'єм набору з копій і одиничної кулі дорівнює площі поверхні .
- Типове число рішень системи поліноміальних рівнянь дорівнює змішаному об'єму [en].
- нерівність Мінковського
- нерівність Александрова — Фенхеля
Примітки
- Burago, Yu.D. (2001), Mixed volume theory, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
Це незавершена стаття з геометрії. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Zmishanij ob yem v opuklij geometriyi nevid yemne chislo yake spivstavlyayetsya naboru z n displaystyle n opuklih til v n displaystyle n mirnomu Evklidovomu prostori Chislo zalezhit vid rozmiriv til ta yih vzayemnogo polozhennya Zmishanij ob yem naboru K 1 K 2 K n displaystyle K 1 K 2 dots K n zazvichaj poznachayetsya yak V K 1 K 2 K n displaystyle V K 1 K 2 dots K n ViznachennyaNehaj K 1 K 2 K n displaystyle K 1 K 2 dots K n nabir z n displaystyle n opuklih til v R n displaystyle mathbb R n i l 1 l 2 l n displaystyle lambda 1 lambda 2 dots lambda n dodatnih dijsnih chisel Poznachimo cherez v l 1 l 2 l n displaystyle v lambda 1 lambda 2 dots lambda n ob yem tila l 1 K 1 l 2 K 2 l n K n displaystyle lambda 1 cdot K 1 lambda 2 cdot K 2 dots lambda n cdot K n de displaystyle oznachaye sumu Minkovskogo i l i K i l x x K i displaystyle lambda i cdot K i lambda cdot x mid x in K i Funkciya v l 1 l 2 l n displaystyle v lambda 1 lambda 2 dots lambda n ye odnoridnim mnogochlenom stepeni n displaystyle n Koeficiyent cogo mnogochlena pri l 1 l 2 l n displaystyle lambda 1 cdot lambda 2 cdot dots cdot lambda n za viznachennyam dorivnyuye n V K 1 K 2 K n displaystyle n cdot V K 1 K 2 dots K n Zauvazhimo sho v l 1 l 2 l n i 1 i n 1 n V K i 1 K i 2 K i n l i 1 l i 2 l i n displaystyle v lambda 1 lambda 2 dots lambda n sum i 1 dots i n 1 n V K i 1 K i 2 dots K i n cdot lambda i 1 cdot lambda i 2 cdot dots cdot lambda i n VlastivostiDlya dovilnih nevid yemnih chisel l 1 l 2 l n displaystyle lambda 1 lambda 2 dots lambda n V l 1 K 1 l 2 K 2 l n K n l 1 l 2 l n V K 1 K 2 K n displaystyle V lambda 1 cdot K 1 lambda 2 cdot K 2 dots lambda n cdot K n lambda 1 cdot lambda 2 cdot dots cdot lambda n cdot V K 1 K 2 dots K n Zmishanij ob yem invariantnij vidnosno paralelnih peremishen til v nabori Zmishanij ob yem monotonnij z vklyuchennyam til Zmishanij ob yem neperervnij vidnosno metriki Gausdorfa Zmishanij ob yem nevid yemnij Bilshe togo V K 1 K 2 K n gt 0 displaystyle V K 1 K 2 dots K n gt 0 tilki todi koli v kozhnomu K i displaystyle K i mozhna provesti po vidrizku tak shob ci vidrizki buli linijno nezalezhni Dlya nevid yemnogo cilogo k n displaystyle k leqslant n zmishanij ob yem n k displaystyle n k kopij opuklogo til K displaystyle K v R n displaystyle mathbb R n i k displaystyle k kopij odinichnoyi kuli virazhayetsya cherez k displaystyle k u K displaystyle K Zokrema Zmishanij ob yem naboru z n displaystyle n kopij K displaystyle K dorivnyuye zvichajnomu ob yemu K displaystyle K Zmishanij ob yem naboru z n 1 displaystyle n 1 kopij K displaystyle K i odinichnoyi kuli dorivnyuye ploshi poverhni K displaystyle K Tipove chislo rishen sistemi polinomialnih rivnyan f 1 f 2 f n 0 displaystyle f 1 f 2 dots f n 0 dorivnyuye zmishanomu ob yemu en f i displaystyle f i nerivnist Minkovskogo V n K L L V K V n 1 L displaystyle V n K L dots L geqslant V K cdot V n 1 L nerivnist Aleksandrova Fenhelya V K 1 K 2 K 3 K n V K 1 K 1 K 3 K n V K 2 K 2 K 3 K n displaystyle V K 1 K 2 K 3 ldots K n geqslant sqrt V K 1 K 1 K 3 ldots K n cdot V K 2 K 2 K 3 ldots K n PrimitkiBurago Yu D 2001 Mixed volume theory u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Ce nezavershena stattya z geometriyi Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi