Досконалий степінь — додатне ціле число , що є цілим степенем додатного цілого числа : . При число називається відповідно досконалим (повним) квадратом та досконалим кубом. Іноді числа 0 та 1 також вважаються досконалими степенями (оскільки і для будь-якого ).
Послідовність досконалих степенів можна сформувати перебором можливих значень для і ; перші кілька її членів (включно з повторюваними):
Перші досконалі степені без дублікатів такі:
- (іноді 0 і 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, …
Властивості
Сума обернених досконалих степенів (включно з дублікатами, такими як ) дорівнює 1:
- ,
що можна довести так:
- .
Сума ряду обернених величин досконалих степенів (за винятком одиниці) без дублікатів дорівнює:
- ,
де — функція Мебіуса, а — дзета-функція Рімана.
Згідно з Ейлером, в одному із загублених листів Гольдбах показав, що сума чисел, обернених до із послідовності досконалих степенів без одиниці і дублікатів дорівнює 1:
- ,
іноді це твердження називають теоремою Гольдбаха — Ейлера.
2002 року [ro] довів, що єдина пара послідовних досконалих степенів — це , Тим самим довівши гіпотезу Каталана.
Невирішена проблема — гіпотеза Піллаї, згідно з якою для будь-якого заданого додатного цілого числа існує тільки скінченне число пар досконалих степенів, різниця яких дорівнює .
Виявлення досконалих степенів
Виявити, чи є дане натуральне число досконалим степенем, можна багатьма способами різного рівня складності. Один із найпростіших способів — розглянути всі можливі значення для за кожним із дільників числа аж до . Якщо дільники рівні , то одне зі значень має дорівнювати , якщо дійсно є досконалим степенем.
Цей метод можна відразу спростити, натомість розглядаючи тільки прості значення , оскільки для складеного , де — просте число, можна переписати як . Звідси випливає, що мінімальне значення обов'язково має бути простим.
Якщо відома повна факторизація , наприклад, , де — різні прості числа, то — досконалий степінь тоді і тільки тоді, коли ( — найбільший спільний дільник). Наприклад, для : оскільки , — це досконалий 12-й степінь (та досконалий 6-й степінь, 4-й степінь, куб та квадрат, оскільки 6, 4, 3 і 2 є дільниками 12).
Примітки
- послідовність A072103 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
- Досконалий степінь(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Посилання
- Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader, and Jaume Paradís, On a Series of Goldbach and Euler, 2004 року (Pdf) [ 22 квітня 2022 у Wayback Machine.]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Doskonalij stepin dodatne cile chislo n displaystyle n sho ye cilim stepenem k displaystyle k dodatnogo cilogo chisla m displaystyle m n mk displaystyle n m k Pri k 2 3 displaystyle k 2 3 chislo n displaystyle n nazivayetsya vidpovidno doskonalim povnim kvadratom ta doskonalim kubom Inodi chisla 0 ta 1 takozh vvazhayutsya doskonalimi stepenyami oskilki 0k 0 displaystyle 0 k 0 i 1k 1 displaystyle 1 k 1 dlya bud yakogo k gt 0 displaystyle k gt 0 Demonstraciya palichkami Kyuyizenera prirodi doskonalogo stepenya chisel 4 8 i 9 Poslidovnist doskonalih stepeniv mozhna sformuvati pereborom mozhlivih znachen dlya m displaystyle m i k displaystyle k pershi kilka yiyi chleniv vklyuchno z povtoryuvanimi 22 4 23 8 32 9 24 16 42 16 52 25 33 27 displaystyle 2 2 4 2 3 8 3 2 9 2 4 16 4 2 16 5 2 25 3 3 27 25 32 62 36 72 49 26 64 43 64 82 64 displaystyle 2 5 32 6 2 36 7 2 49 2 6 64 4 3 64 8 2 64 dots Pershi doskonali stepeni bez dublikativ taki inodi 0 i 1 4 8 9 16 25 27 32 36 49 64 81 100 121 125 128 144 169 196 216 225 243 256 289 324 343 361 400 441 484 512 529 576 625 676 729 784 841 900 961 1000 1024 VlastivostiSuma obernenih doskonalih stepeniv vklyuchno z dublikatami takimi yak 34 92 81 displaystyle 3 4 9 2 81 dorivnyuye 1 m 2 k 2 1mk 1 displaystyle sum m 2 infty sum k 2 infty frac 1 m k 1 sho mozhna dovesti tak m 2 k 2 1mk m 2 1m2 k 0 1mk m 2 1m2 mm 1 m 2 1m m 1 m 2 1m 1 1m 1 displaystyle sum m 2 infty sum k 2 infty frac 1 m k sum m 2 infty frac 1 m 2 sum k 0 infty frac 1 m k sum m 2 infty frac 1 m 2 left frac m m 1 right sum m 2 infty frac 1 m m 1 sum m 2 infty left frac 1 m 1 frac 1 m right 1 Suma ryadu obernenih velichin doskonalih stepeniv za vinyatkom odinici bez dublikativ dorivnyuye i1ni k 2 m k 1 z k 0 874464368 displaystyle sum i frac 1 n i sum k 2 infty mu k 1 zeta k approx 0 874464368 dots de m k displaystyle mu k funkciya Mebiusa a z k displaystyle zeta k dzeta funkciya Rimana Zgidno z Ejlerom v odnomu iz zagublenih listiv Goldbah pokazav sho suma chisel obernenih do ni 1 displaystyle n i 1 iz poslidovnosti doskonalih stepeniv ni displaystyle n i bez odinici i dublikativ dorivnyuye 1 i1ni 1 13 17 18 115 124 126 131 1 displaystyle sum i frac 1 n i 1 frac 1 3 frac 1 7 frac 1 8 frac 1 15 frac 1 24 frac 1 26 frac 1 31 cdots 1 inodi ce tverdzhennya nazivayut teoremoyu Goldbaha Ejlera 2002 roku ro doviv sho yedina para poslidovnih doskonalih stepeniv ce 23 8 32 9 displaystyle 2 3 8 3 2 9 Tim samim dovivshi gipotezu Katalana Nevirishena problema gipoteza Pillayi zgidno z yakoyu dlya bud yakogo zadanogo dodatnogo cilogo chisla k displaystyle k isnuye tilki skinchenne chislo par doskonalih stepeniv riznicya yakih dorivnyuye k displaystyle k Viyavlennya doskonalih stepenivViyaviti chi ye dane naturalne chislo n displaystyle n doskonalim stepenem mozhna bagatma sposobami riznogo rivnya skladnosti Odin iz najprostishih sposobiv rozglyanuti vsi mozhlivi znachennya dlya k displaystyle k za kozhnim iz dilnikiv chisla n displaystyle n azh do k log2 n displaystyle k leqslant log 2 n Yaksho dilniki n displaystyle n rivni n1 n2 nj displaystyle n 1 n 2 dots n j to odne zi znachen n12 n22 nj2 n13 n23 displaystyle n 1 2 n 2 2 dots n j 2 n 1 3 n 2 3 dots maye dorivnyuvati n displaystyle n yaksho n displaystyle n dijsno ye doskonalim stepenem Cej metod mozhna vidrazu sprostiti natomist rozglyadayuchi tilki prosti znachennya k displaystyle k oskilki dlya skladenogo k ap displaystyle k ap de p displaystyle p proste chislo n mk displaystyle n m k mozhna perepisati yak n mk map ma p displaystyle n m k m ap m a p Zvidsi viplivaye sho minimalne znachennya k displaystyle k obov yazkovo maye buti prostim Yaksho vidoma povna faktorizaciya n displaystyle n napriklad n p1a1p2a2 prar displaystyle n p 1 alpha 1 p 2 alpha 2 cdots p r alpha r de pi displaystyle p i rizni prosti chisla to n displaystyle n doskonalij stepin todi i tilki todi koli gcd a1 a2 ar gt 1 displaystyle gcd alpha 1 alpha 2 ldots alpha r gt 1 gcd displaystyle gcd najbilshij spilnij dilnik Napriklad dlya n 29624 displaystyle n 2 9624 oskilki gcd 96 60 24 12 displaystyle gcd 96 60 24 12 n displaystyle n ce doskonalij 12 j stepin ta doskonalij 6 j stepin 4 j stepin kub ta kvadrat oskilki 6 4 3 i 2 ye dilnikami 12 Primitkiposlidovnist A072103 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Doskonalij stepin angl na sajti Wolfram MathWorld PosilannyaLluis Bibiloni Pelegri Viader and Jaume Paradis On a Series of Goldbach and Euler 2004 roku Pdf 22 kvitnya 2022 u Wayback Machine