Диференційовність

Функція однієї чи кількох дійсних змінних називається диференційовною в точці, якщо в деякому околі цієї точки вона в певному сенсі досить добре наближається деякою лінійною функцією (відображенням). Дане лінійне відображення називається диференціалом функції в цій точці.

Приклад диференційовної функції

Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякої множини, то вона називається диференційовною на цій множині.

У випадку функцій однієї змінної умова диференційовності еквівалентна умові існування похідної.

Функції однієї змінної

Нехай функція ${\displaystyle y=f(x)}$ визначена в деякому околі точки ${\displaystyle x_{0}}$ і нехай ${\displaystyle \Delta x=x-x_{0}}$. Функція ${\displaystyle f}$ називається диференційовною в точці ${\displaystyle x_{0}}$ (англ. differentiable), якщо приріст ${\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}$ можна представити у вигляді:

${\displaystyle \Delta y=A\Delta x+\alpha (\Delta x)}$.

де:

${\displaystyle A}$ — стала. При фіксованій ${\displaystyle x_{0}}$ A не залежить від ${\displaystyle \Delta x}$; але коли відбувається зміна ${\displaystyle x_{0}}$, A змінюється також,

${\displaystyle \alpha (\Delta x)=o(\Delta x)}$ при ${\displaystyle x\to 0}$.

Лінійна функція ${\displaystyle A\Delta x}$ (від ${\displaystyle \Delta x}$) називається диференціалом функції в точці ${\displaystyle x_{0}}$ і позначається ${\displaystyle df(x_{0})}$, або, коротше ${\displaystyle dy}$.

Таким чином:

${\displaystyle \Delta y=dy+o(\Delta x)}$ при ${\displaystyle \Delta x\to 0}$,

${\displaystyle dy=A\Delta x}$.

Властивості

Для того, аби функція ${\displaystyle f}$ була диференційовна в деякій точці ${\displaystyle x_{0}}$, необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

${\displaystyle dy=f'(x_{0})dx}$.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Функції багатьох змінних

Відображення ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ називається диференційовним в точці ${\displaystyle x_{0}}$ якщо існує лінійне відображення ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$, що залежить від точки ${\displaystyle x_{0}}$, таке що

${\displaystyle f(x)=f(x_{0})+A(x-x_{0})+o(\|x-x_{0}\|),\ \quad x\to x_{0},}$

або

${\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {\|f(x)-f(x_{0})-A(x-x_{0})\|}{\|x-x_{0}\|}}=0}$.

Лінійне відображення ${\displaystyle A\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ називається диференціалом відображення ${\displaystyle f(x)}$ в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

Якщо відображення ${\displaystyle f\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ задано за допомогою функцій

${\displaystyle f_{i}\colon M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ,\ \quad i=1,\ldots ,m,}$

то матриця диференціала ${\displaystyle A}$ — це матриця Якобі, елементи якої рівні частковим похідним ${\displaystyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}.}$

Зв'язок між диференційовністю і частковими похідними

На відміну від функцій однієї змінної де диференційовність еквівалентна існуванню похідної, у випадку багатьох змінних залежність з частковими похідними трохи складніша. Справедливими є наступні твердження.

• Якщо функція диференційовна в точці, то всі її часткові похідні і більш загально похідні за напрямком існують в цій точці.
• Зворотнє твердження невірне. Прикладом може бути функція

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

для якої в точці (0, 0) існують похідні за всіма напрямками, зокрема і часткові похідні, але в цій точці функція не є диференційовною.

• Якщо всі часткові похідні в точці існують і додатково є в ній неперервними то функція є диференційовною.
• Умова неперервності часткових похідних не є необхідною для диференційовності. Наприклад у функції нижче обидві часткові похідні не є неперервні в точці (0, 0) але вона є диференційовною в цій точці

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}(x^{2}+y^{2})\sin \left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\right)&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

Див. також

• Похідна
• Часткова похідна
• Похідна за напрямком
• Точка зламу

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)
• Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М. : Высшая школа, 2003. — Т. 1. — 703 с.(рос.)