Гіперколо, гіперцикл або еквідистанта — це крива, точки якої мають сталу ортогональну відстань до прямої (яка називається віссю гіперкола).
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWxMMlZoTDBoNWNHVnlZM2xqYkdWZkpUSTRkbVZqZEc5eVgyWnZjbTFoZENVeU9TNXpkbWN2TXpVd2NIZ3RTSGx3WlhKamVXTnNaVjhsTWpoMlpXTjBiM0pmWm05eWJXRjBKVEk1TG5OMlp5NXdibWM9LnBuZw==.png)
Якщо дано пряму L і точку P, яка не лежить на L, можна побудувати гіперцикл, узявши всі точки Q, що лежать з того ж боку від L, що й P, і на такій самій відстані від L, що й P.
Пряма L називається віссю, центром або базовою прямою гіперциклу.
Прямі, перпендикулярні до осі, які перпендикулярні і до гіперциклу, називаються нормалями гіперциклу.
Відрізки нормалі між віссю і гіперциклом називаються радіусами.
Загальна довжина цих відрізків називається відстанню або радіусом гіперциклу.
Гіперцикли через задану точку, що мають одну і ту ж дотичну в цій точці, сходяться до орициклу в міру прямування відстані до нескінченності.
Властивості, подібні до властивостей евклідових прямих
Гіперцикли в геометрії Лобачевського мають деякі властивості, схожі на властивості прямих в евклідовій геометрії:
- На площині, якщо задано пряму і точку поза нею, існує тільки один гіперцикл для даної прямої, що містить цю точку (порівняйте з аксіомою Плейфера для евклідової геометрії).
- Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.
- Гіперцикл симетричний відносно будь-якої прямої, перпендикулярної до нього (відбиття гіперциклу відносно прямої, перпендикулярної до гіперциклу, дає той же самий гіперцикл).
Властивості, подібні до властивостей евклідових кіл
Гіперцикли в геометрії Лобачевського мають деякі властивості, подібні до властивостей кола в евклідовій геометрії:
- Пряма, перпендикулярна до хорди гіперциклу в її середині, є радіусом і ділить стягувану дугу навпіл.
- Нехай AB — хорда і M — її середина.
- З огляду на симетрію, пряма R через M, перпендикулярна до хорди AB, має бути ортогональною до осі L.
- Таким чином, R є радіусом.
- Також з міркувань симетрії, R ділить дугу AB навпіл.
- Вісь і відстань гіперциклу визначені однозначно.
- Припустимо, що гіперцикл C має дві різні осі
і
.
- Скориставшись попередньою властивістю двічі з різними хордами, можна визначити два різних радіуси
і
.
і
будуть тоді перпендикулярні як до
, так і до
, що дає прямокутник. Отримали суперечність, оскільки в геометрії Лобачевського прямокутник неможливий.
- Припустимо, що гіперцикл C має дві різні осі
- Гіперцикли мають однакові відстані тоді й лише тоді, коли вони конгруентні.
- Якщо вони мають однакові відстані, потрібно звести осі до збігу [en], а тоді всі радіуси збіжаться. Оскільки радіус той самий, точки двох гіперциклів сумістяться.
- Навпаки, якщо вони конгруентні, відстань має бути тако ж, згідно з попередньою властивістю.
- Прямі перетинають гіперцикл не більше ніж у двох точках.
- Нехай пряма K перетинає гіперцикл C у двох точках A і B. Як і раніше, ми можемо побудувати радіус R гіперциклу C через середню точку M хорди AB. Зауважимо, що пряма K ультрапаралельна до осі L, оскільки вони мають спільний перпендикуляр R. Також, дві ультрапаралельні прямі мають найменшу відстань на загальному перпендикулярі і відстань монотонно зростає в міру відхиляння від перпендикуляра.
- Це означає, що точки K всередині AB міститимуться на відстані від L меншій, ніж відстань від A і B до L, тоді як точки K поза відрізком AB будуть мати більшу відстань. У підсумку, жодних інших точок K немає на C.
- Два гіперцикли перетинаються максимум у двох точках.
- Нехай
і
— гіперцикли, що перетинаються в точках A, B і C.
- Якщо
— пряма, ортогональна AB і проходить через середню точку, ми знаємо, що це радіус як для
, так і для
.
- Аналогічно будуємо радіус
через середню точку відрізка BC.
і
одночасно ортогональні до осей
і
гіперциклів
і
відповідно.
- Ми вже довели, що в цьому випадку
і
мають збігатися (інакше отримаємо прямокутник).
- Тоді
і
мають ті самі осі і принаймні одну спільну точку, а тому вони мають ту саму відстань і теж збігаються.
- Нехай
- Ніякі три точки гіперциклу не лежать на одній прямій.
- Якщо точки A, B і C гіперциклу лежать на одній прямій, то хорди AB і BC належать одній і тій самій прямій K. Нехай
і
є радіусами, що проходять через середні точки хорд AB і BC. Ми знаємо, що вісь L гіперциклу перпендикулярна як до
, так і до
.
- Але K також перпендикулярна до них. Тоді відстань має дорівнювати 0, і гіперцикл вироджується в пряму.
- Якщо точки A, B і C гіперциклу лежать на одній прямій, то хорди AB і BC належать одній і тій самій прямій K. Нехай
Інші властивості
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODJMell3TDFWdWFXWnZjbTFmZEdsc2FXNW5YelF6TXkxME1GOWxaR2RsWTJWdWRHVnlMbkJ1Wnk4eU1qQndlQzFWYm1sbWIzSnRYM1JwYkdsdVoxODBNek10ZERCZlpXUm5aV05sYm5SbGNpNXdibWM9LnBuZw==.png)
- Довжина дуги гіперциклу між двома точками
- більша від довжини відрізка між цими двома точками,
- менша від довжини дуги одного з двох орициклів між цими двома точками
- менша від довжини будь-якої дуги кола між цими двома точками.
- Гіперцикл і орицикл перетинаються максимум у двох точках.
Довжина дуги
На площині Лобачевського з постійною кривиною довжину дуги гіперциклу можна обчислити за радіусом
і відстанню
між точками, в яких нормалі перетинають вісь, за допомогою формули:
Побудова
Для гіперболічної площини в моделі Пуанкаре у диску гіперцикли відповідають прямим і дугами кола, які перетинають граничне коло під будь-яким кутом відмінним від прямого. Відповідно, вісь гіперциклу, оскільки — це геодезичні, які в моделі представлені відрізками та дугами перпендикулярними граничному колу, буде перетинати граничне коло в тих самих точках, що і гіперцикл, але під прямим кутом.
Відповідно в іншій конформній моделі — моделі Пуанкаре у верхній півплощині гіперцикли представляються прямими та дугами кола, що перетинають граничну пряму під будь-яким кутом відмінним від прямого. Вісь гіперциклу — це геодезична, що перетинає граничну пряму в тих самих точках, але під прямим кутом.
Примітки
- У книзі Смогоржевського використовується термін еквідистанта, хоча, загалом, еквідистанта — це ширше поняття. Тут слід говорити про еквідістанту прямої на гіперболічній площині.
- Martin, 1986.
- Тобто переміщенням фігури як твердого тіла.
- Смогоржевский, 1982, с. 66.
Література
- Martin Gardner. Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics // Non-Euclidean Geometry. — W. W. Norton & Company, 2001. — .
- Greenberg M. J. Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History. — 3rd edition. — Freeman W. H, 1994.
- David C. Royster. Neutral and Non-Euclidean Geometries.
- Смогоржевский А. С. О геометрии Лобачевского. — Москва : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1982. — Т. 23. — (Популярные лекции по математике)
- George E. Martin. The foundations of geometry and the non-euclidean plane. — 1., corr. Springer. — New York : Springer-Verlag, 1986. — С. 371. — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ne plutati z giperciklom u biologiyi Giperkolo gipercikl abo ekvidistanta ce kriva tochki yakoyi mayut stalu ortogonalnu vidstan do pryamoyi yaka nazivayetsya vissyu giperkola Disk Puankare z giperciklom HC dlya pryamoyi L vona pryama oskilki peretinaye gorizont pid pryamimi kutami yakij prohodit cherez tochku P Yaksho dano pryamu L i tochku P yaka ne lezhit na L mozhna pobuduvati gipercikl uzyavshi vsi tochki Q sho lezhat z togo zh boku vid L sho j P i na takij samij vidstani vid L sho j P Pryama L nazivayetsya vissyu centrom abo bazovoyu pryamoyugiperciklu Pryami perpendikulyarni do osi yaki perpendikulyarni i do giperciklu nazivayutsya normalyami giperciklu Vidrizki normali mizh vissyu i giperciklom nazivayutsya radiusami Zagalna dovzhina cih vidrizkiv nazivayetsya vidstannyu abo radiusom giperciklu Gipercikli cherez zadanu tochku sho mayut odnu i tu zh dotichnu v cij tochci shodyatsya do oriciklu v miru pryamuvannya vidstani do neskinchennosti Vlastivosti podibni do vlastivostej evklidovih pryamihGipercikli v geometriyi Lobachevskogo mayut deyaki vlastivosti shozhi na vlastivosti pryamih v evklidovij geometriyi Na ploshini yaksho zadano pryamu i tochku poza neyu isnuye tilki odin gipercikl dlya danoyi pryamoyi sho mistit cyu tochku porivnyajte z aksiomoyu Plejfera dlya evklidovoyi geometriyi Niyaki tri tochki giperciklu ne lezhat na odnij pryamij Gipercikl simetrichnij vidnosno bud yakoyi pryamoyi perpendikulyarnoyi do nogo vidbittya giperciklu vidnosno pryamoyi perpendikulyarnoyi do giperciklu daye toj zhe samij gipercikl Vlastivosti podibni do vlastivostej evklidovih kilGipercikli v geometriyi Lobachevskogo mayut deyaki vlastivosti podibni do vlastivostej kola v evklidovij geometriyi Pryama perpendikulyarna do hordi giperciklu v yiyi seredini ye radiusom i dilit styaguvanu dugu navpil Nehaj AB horda i M yiyi seredina Z oglyadu na simetriyu pryama R cherez M perpendikulyarna do hordi AB maye buti ortogonalnoyu do osi L Takim chinom R ye radiusom Takozh z mirkuvan simetriyi R dilit dugu AB navpil Vis i vidstan giperciklu viznacheni odnoznachno Pripustimo sho gipercikl C maye dvi rizni osi L1 displaystyle L 1 i L2 displaystyle L 2 Skoristavshis poperednoyu vlastivistyu dvichi z riznimi hordami mozhna viznachiti dva riznih radiusi R1 displaystyle R 1 i R2 displaystyle R 2 R1 displaystyle R 1 i R2 displaystyle R 2 budut todi perpendikulyarni yak do L1 displaystyle L 1 tak i do L2 displaystyle L 2 sho daye pryamokutnik Otrimali superechnist oskilki v geometriyi Lobachevskogo pryamokutnik nemozhlivij Gipercikli mayut odnakovi vidstani todi j lishe todi koli voni kongruentni Yaksho voni mayut odnakovi vidstani potribno zvesti osi do zbigu en a todi vsi radiusi zbizhatsya Oskilki radius toj samij tochki dvoh gipercikliv sumistyatsya Navpaki yaksho voni kongruentni vidstan maye buti tako zh zgidno z poperednoyu vlastivistyu Pryami peretinayut gipercikl ne bilshe nizh u dvoh tochkah Nehaj pryama K peretinaye gipercikl C u dvoh tochkah A i B Yak i ranishe mi mozhemo pobuduvati radius R giperciklu C cherez serednyu tochku M hordi AB Zauvazhimo sho pryama K ultraparalelna do osi L oskilki voni mayut spilnij perpendikulyar R Takozh dvi ultraparalelni pryami mayut najmenshu vidstan na zagalnomu perpendikulyari i vidstan monotonno zrostaye v miru vidhilyannya vid perpendikulyara Ce oznachaye sho tochki K vseredini AB mistitimutsya na vidstani vid L menshij nizh vidstan vid A i B do L todi yak tochki K poza vidrizkom AB budut mati bilshu vidstan U pidsumku zhodnih inshih tochok K nemaye na C Dva gipercikli peretinayutsya maksimum u dvoh tochkah Nehaj C1 displaystyle C 1 i C2 displaystyle C 2 gipercikli sho peretinayutsya v tochkah A B i C Yaksho R1 displaystyle R 1 pryama ortogonalna AB i prohodit cherez serednyu tochku mi znayemo sho ce radius yak dlya C1 displaystyle C 1 tak i dlya C2 displaystyle C 2 Analogichno buduyemo radius R2 displaystyle R 2 cherez serednyu tochku vidrizka BC R1 displaystyle R 1 i R2 displaystyle R 2 odnochasno ortogonalni do osej L1 displaystyle L 1 i L2 displaystyle L 2 gipercikliv C1 displaystyle C 1 i C2 displaystyle C 2 vidpovidno Mi vzhe doveli sho v comu vipadku L1 displaystyle L 1 i L2 displaystyle L 2 mayut zbigatisya inakshe otrimayemo pryamokutnik Todi C1 displaystyle C 1 i C2 displaystyle C 2 mayut ti sami osi i prinajmni odnu spilnu tochku a tomu voni mayut tu samu vidstan i tezh zbigayutsya Niyaki tri tochki giperciklu ne lezhat na odnij pryamij Yaksho tochki A B i C giperciklu lezhat na odnij pryamij to hordi AB i BC nalezhat odnij i tij samij pryamij K Nehaj R1 displaystyle R 1 i R2 displaystyle R 2 ye radiusami sho prohodyat cherez seredni tochki hord AB i BC Mi znayemo sho vis L giperciklu perpendikulyarna yak do R1 displaystyle R 1 tak i do R2 displaystyle R 2 Ale K takozh perpendikulyarna do nih Todi vidstan maye dorivnyuvati 0 i gipercikl virodzhuyetsya v pryamu Inshi vlastivosti en na konformno evklidovij modeli maye poslidovnist vershin sho lezhat na giperciklah Dovzhina dugi giperciklu mizh dvoma tochkami bilsha vid dovzhini vidrizka mizh cimi dvoma tochkami mensha vid dovzhini dugi odnogo z dvoh oricikliv mizh cimi dvoma tochkami mensha vid dovzhini bud yakoyi dugi kola mizh cimi dvoma tochkami Gipercikl i oricikl peretinayutsya maksimum u dvoh tochkah Dovzhina dugiNa ploshini Lobachevskogo z postijnoyu krivinoyu 1 displaystyle 1 dovzhinu dugi giperciklu mozhna obchisliti za radiusom r displaystyle r i vidstannyu d displaystyle d mizh tochkami v yakih normali peretinayut vis za dopomogoyu formuli l d chr displaystyle l d cdot mathrm ch r PobudovaDlya giperbolichnoyi ploshini v modeli Puankare u disku gipercikli vidpovidayut pryamim i dugami kola yaki peretinayut granichne kolo pid bud yakim kutom vidminnim vid pryamogo Vidpovidno vis giperciklu oskilki ce geodezichni yaki v modeli predstavleni vidrizkami ta dugami perpendikulyarnimi granichnomu kolu bude peretinati granichne kolo v tih samih tochkah sho i gipercikl ale pid pryamim kutom Vidpovidno v inshij konformnij modeli modeli Puankare u verhnij pivploshini gipercikli predstavlyayutsya pryamimi ta dugami kola sho peretinayut granichnu pryamu pid bud yakim kutom vidminnim vid pryamogo Vis giperciklu ce geodezichna sho peretinaye granichnu pryamu v tih samih tochkah ale pid pryamim kutom PrimitkiU knizi Smogorzhevskogo vikoristovuyetsya termin ekvidistanta hocha zagalom ekvidistanta ce shirshe ponyattya Tut slid govoriti pro ekvidistantu pryamoyi na giperbolichnij ploshini Martin 1986 Tobto peremishennyam figuri yak tverdogo tila Smogorzhevskij 1982 s 66 LiteraturaMartin Gardner Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics Non Euclidean Geometry W W Norton amp Company 2001 ISBN 978 0 393 02023 6 Greenberg M J Euclidean and Non Euclidean Geometries Development and History 3rd edition Freeman W H 1994 David C Royster Neutral and Non Euclidean Geometries Smogorzhevskij A S O geometrii Lobachevskogo Moskva Gosudarstvennoe izdatelstvo tehniko teoreticheskoj literatury 1982 T 23 Populyarnye lekcii po matematike George E Martin The foundations of geometry and the non euclidean plane 1 corr Springer New York Springer Verlag 1986 S 371 ISBN 3 540 90694 0