Гомологічна алгебра

Гомологічна алгебра — розділ алгебри, що вивчає алгебраїчні об'єкти, запозичені з алгебраїчної топології. При вивченні розширень груп, першими гомологічні методи у алгебрі застосували у 40-х роках XX століття ^[en] і ^[en].

Гомологічна алгебра відіграє важливу роль в алгебричній топології, застосовується в багатьох розділах алгебри, таких як теорія груп, теорія алгебр, алгебрична геометрія, теорія Галуа.

Ланцюговий комплекс

Докладніше: Ланцюговий комплекс

Ланцюговий комплекс це градуйований модуль ${\displaystyle M=\bigoplus \limits _{n=0}^{\infty }M_{n}}$ з диференціалом ${\displaystyle d:M\to M}$, ${\displaystyle d^{2}=0}$ (що не виконується для півсфери, яка є проєкцією 4-вимірного об'єкта), що знижує градуювання для ланцюгового комплексу, ${\displaystyle d(M_{n})\subset M_{n-1}}$, або підвищує градуювання для коланцюгового комплексу, ${\displaystyle d(M_{n})\subset M_{n+1}}$.

Одним з основних понять гомологічної алгебри є ланцюговий комплекс. Ланцюгові комплекси присутні у різних розділах математики, в алгебричній топології, комутативній алгебрі, алгебричній геометрії, вивчення загальних властивостей комплексів є однією з основних завдань гомологічної алгебри.

Резольвента

Детальніші відомості з цієї теми ви можете знайти в статті Резольвента (гомологічна алгебра).

Проективною резольвентою модуля ${\displaystyle A}$, називається лівий комплекс ${\displaystyle \ldots \longrightarrow X_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}X_{n-1}\longrightarrow \ldots {\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}X_{0}{\stackrel {\varepsilon }{\longrightarrow }}A\longrightarrow 0}$, у якому всі ${\displaystyle X_{n}}$ є проективними і гомології якого дорівнюють нулю, окрім нульових.

Проективні резольвенти використовуються для обчислення функторів ${\displaystyle Tor_{n}(A,C)}$ и ${\displaystyle Ext^{n}(A,C)}$. Резольвенти виникли в алгебраїчній топології для обчислення гомологій топологічного добутку за гомологіями множників за формулою Кюнетта.

Література

• А. Картан, С. Эйленберг, «Гомологическая алгебра», 1960 год.
• С. Маклейн, «Гомология», 1966 год.
• Р. Годеман «Алгебраическая топология и теория пучков», 1961 год.
• Бурбаки, «Гомологическая алгебра», 1987 год.