Мінором -го порядку матриці називається визначник матриці, утвореної елементами на перетині стовпців та рядків.
Формальне означення
Нехай — матриця розміру , в якій вибрано довільні
- рядків з номерами та
- стовпців з номерами
Елементи, що знаходяться на перетині обраних рядків та стовпців утворюють квадратну матрицю порядку .
Визначник матриці, яка одержується з викреслюванням всіх рядків та стовпців, окрім вибраних, називається мінором -го порядку, розташованим в рядках з номерами та стовпцях з номерами .
Якщо є квадратною матрицею, визначник матриці, яка одержується викреслюванням тільки вибраних рядків та стовпців з матриці називається доповнювальним мінором до мінору
- де та — номери не вибраних рядків і стовпців.
Пов'язані означення
- Мінором елемента квадратної матриці порядку називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо з визначника n-го порядку шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент
- Нехай — деякий мінор порядку матриці . Мінор порядку матриці називається оточуючим для мінора , якщо його матриця містить в собі матрицю мінору . Таким чином, оточуючий мінор для мінора можна одержати дописуючи до нього один рядок і один стовпчик.
- Базисним мінором ненульової матриці (існує ненульовий елемент) називається мінор, який не дорівнює нулю, а всі його оточуючі мінори дорівнюють нулю, або їх не існує. Доведення існування базисного мінора: утворимо мінор з єдиного ненульового елемента і будемо рекурсивно шукати ненульові оточуючі мінори аж до найбільшого. В загальному випадку в матриці може існувати багато базисних мінорів. Розмір базисного мінора матриці називається рангом матриці.
- Для -матриці мінори виду , де і називаються головними мінорами. Тобто для цих мінорів обираються однакові номери для рядків і стовпців. Головні мінори переважно розглядають для квадратних матриць.
Приклади
- Розглянемо матрицю розміру :
- — мінор 2-го порядку.
- Загалом для цієї матриці є мінорів другого порядку.
- Мінор квадратної матриці — визначник матриці, отриманий шляхом викреслювання рядка 2 та стовпчика 3:
Властивості
- Для матриці розміру існує різних мінорів порядку , де .
- Теорема Лапласа. Нехай — квадратна матриця розміру в якій вибрано довільні рядків. Тоді визначник матриці рівний сумі всіляких добутків мінорів -го порядку, розташованих в цих рядках, на їх алгебраїчні доповнення.
- де підсумовування ведеться по всіх номерах стовпців Число мінорів, по яких береться сума в теоремі Лапласа, рівне числу способів вибрати стовпців з , тобто біноміальному коефіцієнту .
- Оскільки рядки і стовпці матриці рівносильні щодо властивостей визначника, теорему Лапласа можна сформулювати і для стовпців матриці.
- Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними.
- Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.
- Нехай є матрицею розміру , є матрицею розміру і є їх добутком. Позначатимемо мінори відповідних матриць. Тоді для мінора де і є номерами рядків, а — номерами стовпців, якщо то В іншому випадку цей мінор одержується через мінори матриць і за допомогою формули:
- Дана формула є узагальненням формули Біне — Коші.
- Із попереднього узагальнення формули Біне — Коші випливає, що сума головних мінорів однакового порядку матриць і є однаково.
- Характеристичний многочлен квадратної матриці можна записати як , де позначає суму головних мінорів порядку матриці Як наслідок суми головних мінорів однакового порядку двох подібних матриць є рівними. Зокрема єдиним головним мінором максимального порядку є визначник, а сума головних мінорів порядку 1 називається слідом матриці.
Див. також
Джерела
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
- С.С.Шестаков, С.І.Доценко. Визначники, матриці та системи лінійних рівнянь[недоступне посилання з липня 2019]. Курс лекцій з алгебри для студентів факультету кібернетики.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Minorom k displaystyle k go poryadku matrici A displaystyle A nazivayetsya viznachnik matrici utvorenoyi elementami na peretini k displaystyle k stovpciv ta k displaystyle k ryadkiv Formalne oznachennyaNehaj A a i j displaystyle A a ij matricya rozmiru m n displaystyle m times n v yakij vibrano dovilni k displaystyle k k n k m displaystyle k leqslant n k leqslant m ryadkiv z nomerami i 1 lt i 2 lt lt i k displaystyle i 1 lt i 2 lt ldots lt i k ta stovpciv z nomerami j 1 lt j 2 lt lt j k displaystyle j 1 lt j 2 lt ldots lt j k Elementi sho znahodyatsya na peretini obranih ryadkiv ta stovpciv utvoryuyut kvadratnu matricyu poryadku k displaystyle k Viznachnik matrici yaka oderzhuyetsya z A displaystyle A vikreslyuvannyam vsih ryadkiv ta stovpciv okrim vibranih nazivayetsya minorom k displaystyle k go poryadku roztashovanim v ryadkah z nomerami i 1 i 2 i k displaystyle i 1 i 2 ldots i k ta stovpcyah z nomerami j 1 j 2 j k displaystyle j 1 j 2 ldots j k M j 1 j k i 1 i k det a i 1 j 1 a i 1 j 2 a i 1 j k a i k j 1 a i k j 2 a i k j k displaystyle M j 1 ldots j k i 1 ldots i k det begin pmatrix a i 1 j 1 amp a i 1 j 2 amp ldots amp a i 1 j k vdots amp vdots amp ddots amp vdots a i k j 1 amp a i k j 2 amp ldots amp a i k j k end pmatrix Yaksho A displaystyle A ye kvadratnoyu matriceyu viznachnik matrici yaka oderzhuyetsya vikreslyuvannyam tilki vibranih ryadkiv ta stovpciv z matrici A displaystyle A nazivayetsya dopovnyuvalnim minorom do minoru A j 1 j k i 1 i k displaystyle A j 1 ldots j k i 1 ldots i k M j 1 j k i 1 i k det a i k 1 j k 1 a i k 1 j k 2 a i k 1 j n a i n j k 1 a i n j k 2 a i n j n displaystyle overline M j 1 ldots j k i 1 ldots i k det begin pmatrix a i k 1 j k 1 amp a i k 1 j k 2 amp ldots amp a i k 1 j n vdots amp vdots amp ddots amp vdots a i n j k 1 amp a i n j k 2 amp ldots amp a i n j n end pmatrix de i k 1 lt lt i n displaystyle i k 1 lt ldots lt i n ta j k 1 lt lt j n displaystyle j k 1 lt ldots lt j n nomeri ne vibranih ryadkiv i stovpciv Pov yazani oznachennya Minorom M i j displaystyle M ij elementa a i j displaystyle a ij kvadratnoyi matrici A displaystyle A poryadku n displaystyle n nazivayetsya viznachnik n 1 poryadku yakij oderzhuyemo z viznachnika A displaystyle A n go poryadku shlyahom vikreslyuvannya i go ryadka ta j go stovpcya na peretini yakih znahoditsya element a i j displaystyle a ij Nehaj D k displaystyle Delta k deyakij minor poryadku k displaystyle k matrici A displaystyle A Minor poryadku k 1 displaystyle k 1 matrici nazivayetsya otochuyuchim dlya minora D k displaystyle Delta k yaksho jogo matricya mistit v sobi matricyu minoru D k displaystyle Delta k Takim chinom otochuyuchij minor dlya minora D k displaystyle Delta k mozhna oderzhati dopisuyuchi do nogo odin ryadok i odin stovpchik Bazisnim minorom nenulovoyi matrici A displaystyle A isnuye nenulovij element nazivayetsya minor yakij ne dorivnyuye nulyu a vsi jogo otochuyuchi minori dorivnyuyut nulyu abo yih ne isnuye Dovedennya isnuvannya bazisnogo minora utvorimo minor z yedinogo nenulovogo elementa i budemo rekursivno shukati nenulovi otochuyuchi minori azh do najbilshogo V zagalnomu vipadku v matrici mozhe isnuvati bagato bazisnih minoriv Rozmir bazisnogo minora matrici nazivayetsya rangom matrici Dlya m n displaystyle m times n matrici A displaystyle A minori vidu M i 1 i k i 1 i k displaystyle M i 1 ldots i k i 1 ldots i k de i 1 lt i 2 lt lt i k displaystyle i 1 lt i 2 lt ldots lt i k i k n k m displaystyle k leqslant n k leqslant m nazivayutsya golovnimi minorami Tobto dlya cih minoriv obirayutsya odnakovi nomeri dlya ryadkiv i stovpciv Golovni minori perevazhno rozglyadayut dlya kvadratnih matric PrikladiRozglyanemo matricyu A displaystyle A rozmiru m n displaystyle m times n A a 11 a 12 a 13 a 1 n a 21 a 22 a 23 a 2 n a 31 a 32 a 33 a 3 n a m 1 a m 2 a m 2 a m n M 2 3 1 2 a 12 a 13 a 22 a 23 displaystyle A begin pmatrix a 11 amp a 12 amp a 13 amp cdots amp a 1n a 21 amp a 22 amp a 23 amp cdots amp a 2n a 31 amp a 32 amp a 33 amp cdots amp a 3n vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots a m1 amp a m2 amp a m2 amp cdots amp a mn end pmatrix qquad M 2 3 1 2 begin array cc a 12 amp a 13 a 22 amp a 23 end array minor 2 go poryadku Zagalom dlya ciyeyi matrici ye C m 2 C n 2 displaystyle C m 2 C n 2 minoriv drugogo poryadku Minor M 23 displaystyle M 23 kvadratnoyi matrici A displaystyle A viznachnik matrici otrimanij shlyahom vikreslyuvannya ryadka 2 ta stovpchika 3 A 1 4 7 3 0 5 1 9 11 M 23 1 4 1 9 displaystyle A begin pmatrix 1 amp 4 amp 7 3 amp 0 amp 5 1 amp 9 amp 11 end pmatrix qquad M 23 begin vmatrix 1 amp 4 amp Box Box amp Box amp Box 1 amp 9 amp Box end vmatrix displaystyle longrightarrow 1 4 1 9 9 4 13 displaystyle begin vmatrix 1 amp 4 1 amp 9 end vmatrix left 9 left 4 right right 13 VlastivostiDlya matrici A displaystyle A rozmiru m n displaystyle m times n isnuye C m k C n k displaystyle C m k cdot C n k riznih minoriv poryadku k displaystyle k de k n k m displaystyle k leqslant n k leqslant m Teorema Laplasa Nehaj A a i j displaystyle A a ij kvadratna matricya rozmiru n n displaystyle n times n v yakij vibrano dovilni k displaystyle k ryadkiv Todi viznachnik matrici A displaystyle A rivnij sumi vsilyakih dobutkiv minoriv k displaystyle k go poryadku roztashovanih v cih ryadkah na yih algebrayichni dopovnennya det A j 1 lt lt j k M j 1 j k i 1 i k A j 1 j k i 1 i k displaystyle det A sum j 1 lt ldots lt j k M j 1 ldots j k i 1 ldots i k A j 1 ldots j k i 1 ldots i k de pidsumovuvannya vedetsya po vsih nomerah stovpciv j 1 j k displaystyle j 1 ldots j k Chislo minoriv po yakih beretsya suma v teoremi Laplasa rivne chislu sposobiv vibrati k displaystyle k stovpciv z n displaystyle n tobto binomialnomu koeficiyentu n k displaystyle textstyle n choose k Oskilki ryadki i stovpci matrici rivnosilni shodo vlastivostej viznachnika teoremu Laplasa mozhna sformulyuvati i dlya stovpciv matrici Teorema pro bazisnij minor Ryadki nenulovoyi matrici A displaystyle A na yakih buduyetsya yiyi bazisnij minor D r displaystyle Delta r ye linijno nezalezhnimi Vsi inshi ryadki matrici linijno virazhayutsya cherez nih Nehaj A displaystyle A ye matriceyu rozmiru m n displaystyle m times n B displaystyle B ye matriceyu rozmiru n p displaystyle n times p i C A B displaystyle C AB ye yih dobutkom Poznachatimemo A M B M C M displaystyle A M B M C M minori vidpovidnih matric Todi dlya minora C M j 1 j k i 1 i k displaystyle C M j 1 ldots j k i 1 ldots i k de k p k m displaystyle k leqslant p k leqslant m i i 1 lt i 2 lt lt i k displaystyle i 1 lt i 2 lt ldots lt i k ye nomerami ryadkiv a j 1 lt j 2 lt lt j k displaystyle j 1 lt j 2 lt ldots lt j k nomerami stovpciv yaksho k gt n displaystyle k gt n to C M j 1 j k i 1 i k 0 displaystyle C M j 1 ldots j k i 1 ldots i k 0 V inshomu vipadku cej minor oderzhuyetsya cherez minori matric A displaystyle A i B displaystyle B za dopomogoyu formuli C M j 1 j k i 1 i k 1 l 1 lt lt l k n A M l 1 l k i 1 i k B M j 1 j k l 1 l k displaystyle C M j 1 ldots j k i 1 ldots i k sum 1 leqslant l 1 lt ldots lt l k leqslant n A M l 1 ldots l k i 1 ldots i k cdot B M j 1 ldots j k l 1 ldots l k Dana formula ye uzagalnennyam formuli Bine Koshi Iz poperednogo uzagalnennya formuli Bine Koshi viplivaye sho suma golovnih minoriv odnakovogo poryadku matric A B displaystyle AB i B A displaystyle BA ye odnakovo Harakteristichnij mnogochlen p A l det A I n l displaystyle p A lambda det A I n lambda kvadratnoyi matrici A displaystyle A mozhna zapisati yak p A l l n i 1 n 1 i m i A l n i displaystyle p A lambda lambda n sum i 1 n 1 i m i A lambda n i de m i A displaystyle m i A poznachaye sumu golovnih minoriv poryadku i displaystyle i matrici A displaystyle A Yak naslidok sumi golovnih minoriv odnakovogo poryadku dvoh podibnih matric ye rivnimi Zokrema yedinim golovnim minorom maksimalnogo poryadku ye viznachnik a suma golovnih minoriv poryadku 1 nazivayetsya slidom matrici Div takozhPortal Matematika Teoriya matric Matricya matematika Viznachnik matrici Rang matrici Formula Bine KoshiDzherelaGelfand I M Lekcii po linejnoj algebre 5 e Moskva Nauka 1998 320 s ISBN 5791300158 ros Gantmaher F R Teoriya matric 5 e M Fizmatlit 2010 559 s ISBN 5 9221 0524 8 ros S S Shestakov S I Docenko Viznachniki matrici ta sistemi linijnih rivnyan nedostupne posilannya z lipnya 2019 Kurs lekcij z algebri dlya studentiv fakultetu kibernetiki