Вільна алгебра Лі

У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.

Означення

Універсальна властивість

Вільною алгеброю Лі ${\displaystyle FL(X)}$ породженою множиною ${\displaystyle X}$ називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення ${\displaystyle X\rightarrow FL(X)}$ і якщо ${\displaystyle \theta :X\rightarrow L}$ є вкладенням множини ${\displaystyle X}$ у довільну алгебру Лі ${\displaystyle L,}$ то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі ${\displaystyle \varphi :FL(X)\rightarrow L}$, для якого ${\displaystyle \varphi \circ i=\theta }$.

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною ${\displaystyle X.}$ Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Пряма побудова

Нехай ${\displaystyle K}$ позначає довільне поле. Для множини ${\displaystyle X\not =\emptyset }$ позначимо ${\displaystyle A(X)}$ вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle i:X\rightarrow A(X)}$ — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

${\displaystyle [a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,\quad a,b\in A(X)}$

і з цією операцією ${\displaystyle A(X)}$ є алгеброю Лі. Визначимо

${\displaystyle FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X),\;i(X)\subset L\}}$

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у ${\displaystyle A(X),}$ що містять ${\displaystyle i(X).}$.

${\displaystyle FL(X)}$ є вільною алгеброю Лі породженою множиною ${\displaystyle X}$.

Згідно з побудовою ${\displaystyle i(X)\subset FL(X)}$ і ${\displaystyle i}$ можна розглядати як вкладення ${\displaystyle X\rightarrow FL(X).}$

Альтернативна побудова Бурбакі

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle M(X)}$— то вільна магма на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)}$— асоціативна алгебра із базисом ${\displaystyle M(X)}$ із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал ${\displaystyle I\subset \mathrm {Lib} (X)}$, породжений усіма елементами виду

${\displaystyle a\cdot a,\quad a\in \mathrm {Lib} (X)}$

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),\quad a,b,c\in \mathrm {Lib} (X).}$

Тоді ${\displaystyle \mathrm {Lib} (X)/I}$ є вільною алгеброю породженою множиною ${\displaystyle X}$.

Приклади і властивості

• Якщо ${\displaystyle X=\{x\}}$ є одноелементною множиною, то ${\displaystyle A(\{x\})}$ є алгебрі многочленів від однієї змінної ${\displaystyle x}$. З введеним вище комутатором ${\displaystyle A(\{x\})}$ є комутативною алгеброю Лі. За означенням ${\displaystyle FL(\{x\})}$ є найменшою підалгеброю Лі, що містить ${\displaystyle i(x)}$ і такою очевидно є ${\displaystyle K\cdot i(x)}$. Тому ${\displaystyle FL(\{x\})\cong K}$ тривіальній одновимірній алгебрі Лі.

• Універсальна обгортуюча алгебра алгебри ${\displaystyle FL(X)}$ є рівною ${\displaystyle {\mathcal {U}}(FL(X))\cong A(X)}$.

Породжуючі елементи і співвідношення

Нехай ${\displaystyle X}$ непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів ${\displaystyle X}$. Прикладом моному Лі може бути

${\displaystyle [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X}$,

Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад

${\displaystyle 7\cdot [[[x_{1},x_{2}],x_{1}],[x_{1},x_{3}]]-[[[[x_{1},x_{1}],x_{1}],x_{1}],x_{2}],\quad x_{1},x_{2},x_{3}\in X}$.

Для множини ${\displaystyle R}$ слів Лі у множині ${\displaystyle X}$ позначимо ${\displaystyle \langle R\rangle \subset FL(X)}$ найменший ідеал, що містить множину ${\displaystyle R\subset FL(X)}$. Тоді факторалгебра Лі

${\displaystyle L(X;R):=FL(X)/\langle R\rangle }$

є заданою породжуючою множиною ${\displaystyle X}$ і співвідношеннями ${\displaystyle R}$.

Приклади

• ${\displaystyle L(X;\emptyset )=FL(X)}$, оскільки ідеалом у цьому випадку є ${\displaystyle \{0\}}$.

• Нехай елементами ${\displaystyle R}$ є всі вирази виду ${\displaystyle [x_{1},x_{2}],\,x_{1},x_{2}\in X}$. Тоді ${\displaystyle L(X;R)}$ є комутативною алгеброю для якої елементи ${\displaystyle X}$ утворюють базис векторного простору.

• Нехай маємо множину ${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},h_{1},\ldots ,h_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}}$ і ${\displaystyle A_{i,j}}$ деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.

Нехай ${\displaystyle R}$ породжена елементами

${\displaystyle [h_{i},h_{j}]}$

${\displaystyle [h_{i},e_{j}]-A_{i,j}e_{j}}$

${\displaystyle [h_{i},f_{j}]+A_{i,j}f_{j}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{i}]-h_{i}}$

${\displaystyle [e_{i},f_{j}]}$   для   ${\displaystyle i\not =j}$

${\displaystyle [e_{i},[e_{i}[\ldots [e_{i},e_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle [f_{i},[f_{i}[\ldots [f_{i},f_{j}]]]}$   для ${\displaystyle i\not =j}$ і ${\displaystyle 1-A_{i,j}}$ входжень елементів ${\displaystyle f_{i}}$

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо ${\displaystyle A_{i,j}}$ є коефіцієнтами матриці Картана то ${\displaystyle L(X;R)}$ є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.

Примітки

1. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Теорема 9.9
2. : Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Розділ 9.3: Free Lie algebras
3. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Теорема 9.10
4. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), , Beispiel 9.12

Див. також

• Задання групи
• Універсальна обгортуюча алгебра

Література

• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
• Carter, R. (2005), Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press, ISBN 
• Lothaire, M. (1997), Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, т. 17 (вид. 2nd), Cambridge University Press, с. 76—91, 98, ISBN , Zbl 0874.20040
• Reutenauer, Christophe (1993), Free Lie algebras, London Mathematical Society Monographs. New Series, т. 7, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN , MR 1231799