Ця стаття містить , але походження окремих тверджень через брак . (жовтень 2015) |
В баєсовій статистиці апостеріо́рна ймові́рність (англ. posterior probability) випадкової події або сумнівного твердження[: ком.] — це умовна ймовірність, присвоювана[: ком.] після врахування відповідного свідчення або вихідних даних. Так само апостеріо́рний розпо́діл імові́рності (англ. posterior probability distribution) — це розподіл невідомої величини, яку розглядають як випадкову змінну, обумовлену свідченням, отриманим з експерименту або спостереження. «Апостеріорний» в даному контекст означає — після врахування відповідного свідчення, пов'язаного з певним досліджуваним випадком. Наприклад, існує («неапостеріорна») ймовірність того, що людина знайде скарб, копаючи у випадковому місці, та апостеріорна ймовірність знаходження закопаного скарбу, якщо людина копатиме в місці, де дзвенить її металодетектор.
Визначення
Апостеріорна ймовірність є ймовірністю параметрів за заданого свідчення
:
.
Вона протиставиться до функції правдоподібності, яка є ймовірністю цього свідчення за заданих параметрів: .
Вони пов'язані наступним чином:
Нехай у нас є апріорне переконання, що функція розподілу ймовірності це , і спостереження
з правдоподібністю
, тоді апостеріорна ймовірність визначається як
Апостеріорну ймовірність може бути записано в такому зручному для запам'ятовування вигляді:
.
Приклад
Нехай у школі 60% учнів — хлопці, і 40% — дівчата. Дівчата носять штани та спідниці в рівній кількості, хлопці всі носять штани. Спостерігач здалеку бачить учня (випадкового); все, що може бачити спостерігач, — це те, що учень в штанях. Яка ймовірність того, що цей учень — дівчина? Правильну відповідь може бути обчислено за допомогою теореми Баєса.
Подією є те, що учень, якого бачить спостерігач, є дівчиною, а подією
є те, що цей учень носить штани. Для обчислення апостеріорної ймовірності
, нам спочатку необхідно дізнатися:
, або ймовірність того, що цей учень є дівчиною незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки спостерігач бачить випадкового учня, тобто всі учні мають однакову ймовірність бути побаченими, а частка дівчат серед них становить 40%, то ця ймовірність дорівнює 0.4.
, або ймовірність того, що цей учень не є дівчиною (тобто, хлопець), незалежно від будь-якої іншої інформації (
є доповнювальною подією до
). Це є 60%, або 0.6.
, або ймовірність того, що учень носить штани, якщо він є дівчиною. Оскільки вони однаково часто носять штани та спідниці, то це 0.5.
, або ймовірність то, що учень носить штани, якщо він є хлопцем. Це задано як 1.
, або ймовірність того, що (випадково вибраний) учень носить штани незалежно від будь-якої іншої інформації. Оскільки
(згідно закону повної ймовірності), це становить
.
Враховуючи всю цю інформацію, апостеріорна ймовірність того, що спостерігач бачить дівчину, за умови що учень, якого бачить спостерігач, носить штани, може бути обчислено підставленням цих значень до формули
Інтуїтивне пояснення цього результату полягає в тім, що з кожної сотні учнів (60 хлопців та 40 дівчат), оскільки ми спостерігаємо штани, цей учень є одним з 80, що їх носять (60 хлопців та 20 дівчат); оскільки 20/80 = 1/4 з них є дівчатами, то ймовірністю того, що учень в штанях є дівчиною, становить 1/4.
Обчислення
Апостеріорний розподіл імовірності однієї випадкової змінної при заданому значенні іншої може бути обчислено за теоремою Баєса шляхом множення апріорного розподілу ймовірності на функцію правдоподібності, а потім діленням на [en], а саме:
дає апостеріорну функцію густини ймовірності випадкової змінної з урахуванням даних
, де
є апріорною густиною
;
є функцією правдоподібності як функції від
;
є нормувальною сталою, та
є апостеріорною густиною
з урахуванням даних
.
Імовірний інтервал
Апостеріорна ймовірність є умовною ймовірністю, обумовленою випадково спостережуваними даними. Відтак вона є випадковою змінною. Для випадкової змінної важливо підбивати величину її невизначеності. Одним зі способів досягнення цієї мети є надання ймовірного інтервалу апостеріорної ймовірності.
Класифікація
У класифікації апостеріорна ймовірність відображає невизначеність віднесення спостереження до певного класу, див. також ймовірності приналежності до класів. Хоча методи статистичної класифікації за визначенням і породжують апостеріорні ймовірності, фахівці з машинного навчання зазвичай подають значення приналежності, що не передбачають жодної ймовірнісної довірчості. Бажано перетворювати або перемасштабовувати значення приналежності у ймовірності приналежності до класів, оскільки вони є порівнюваними й на додачу легше застосовними для подальшої обробки.
Див. також
- [en]
- [de]
- Зачада Монті Голла
- [en]
- [en]
- [en]
- Баєсів структурний часовий ряд
- [en]
Примітки
- Christopher M. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer. с. 21–24. ISBN . (англ.)
Література
- Peter M. Lee (2004). (вид. 3rd). . ISBN . Архів оригіналу за 25 вересня 2015. Процитовано 24 вересня 2015. (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya mistit perelik posilan ale pohodzhennya okremih tverdzhen zalishayetsya nezrozumilim cherez brak vnutrishnotekstovih dzherel vinosok Bud laska dopomozhit polipshiti cyu stattyu peretvorivshi dzherela z pereliku posilan na dzherela vinoski u samomu teksti statti Zvernitsya na storinku obgovorennya za poyasnennyami ta dopomozhit vipraviti nedoliki zhovten 2015 V bayesovij statistici aposterio rna jmovi rnist angl posterior probability vipadkovoyi podiyi abo sumnivnogo tverdzhennya proyasniti kom ce umovna jmovirnist prisvoyuvana proyasniti kom pislya vrahuvannya vidpovidnogo svidchennya abo vihidnih danih Tak samo aposterio rnij rozpo dil imovi rnosti angl posterior probability distribution ce rozpodil nevidomoyi velichini yaku rozglyadayut yak vipadkovu zminnu obumovlenu svidchennyam otrimanim z eksperimentu abo sposterezhennya Aposteriornij v danomu kontekst oznachaye pislya vrahuvannya vidpovidnogo svidchennya pov yazanogo z pevnim doslidzhuvanim vipadkom Napriklad isnuye neaposteriorna jmovirnist togo sho lyudina znajde skarb kopayuchi u vipadkovomu misci ta aposteriorna jmovirnist znahodzhennya zakopanogo skarbu yaksho lyudina kopatime v misci de dzvenit yiyi metalodetektor ViznachennyaAposteriorna jmovirnist ye jmovirnistyu parametriv 8 displaystyle theta za zadanogo svidchennya X displaystyle X p 8 X displaystyle p theta X Vona protistavitsya do funkciyi pravdopodibnosti yaka ye jmovirnistyu cogo svidchennya za zadanih parametriv p X 8 displaystyle p X theta Voni pov yazani nastupnim chinom Nehaj u nas ye apriorne perekonannya sho funkciya rozpodilu jmovirnosti ce p 8 displaystyle p theta i sposterezhennya X displaystyle X z pravdopodibnistyu p X 8 displaystyle p X theta todi aposteriorna jmovirnist viznachayetsya yak p 8 X p 8 p X 8 p X displaystyle p theta X frac p theta p X theta p X Aposteriornu jmovirnist mozhe buti zapisano v takomu zruchnomu dlya zapam yatovuvannya viglyadi Posterior probability Prior probability Likelihood displaystyle text Posterior probability propto text Prior probability times text Likelihood PrikladNehaj u shkoli 60 uchniv hlopci i 40 divchata Divchata nosyat shtani ta spidnici v rivnij kilkosti hlopci vsi nosyat shtani Sposterigach zdaleku bachit uchnya vipadkovogo vse sho mozhe bachiti sposterigach ce te sho uchen v shtanyah Yaka jmovirnist togo sho cej uchen divchina Pravilnu vidpovid mozhe buti obchisleno za dopomogoyu teoremi Bayesa Podiyeyu G displaystyle G ye te sho uchen yakogo bachit sposterigach ye divchinoyu a podiyeyu T displaystyle T ye te sho cej uchen nosit shtani Dlya obchislennya aposteriornoyi jmovirnosti P G T displaystyle P G T nam spochatku neobhidno diznatisya P G displaystyle P G abo jmovirnist togo sho cej uchen ye divchinoyu nezalezhno vid bud yakoyi inshoyi informaciyi Oskilki sposterigach bachit vipadkovogo uchnya tobto vsi uchni mayut odnakovu jmovirnist buti pobachenimi a chastka divchat sered nih stanovit 40 to cya jmovirnist dorivnyuye 0 4 P B displaystyle P B abo jmovirnist togo sho cej uchen ne ye divchinoyu tobto hlopec nezalezhno vid bud yakoyi inshoyi informaciyi B displaystyle B ye dopovnyuvalnoyu podiyeyu do G displaystyle G Ce ye 60 abo 0 6 P T G displaystyle P T G abo jmovirnist togo sho uchen nosit shtani yaksho vin ye divchinoyu Oskilki voni odnakovo chasto nosyat shtani ta spidnici to ce 0 5 P T B displaystyle P T B abo jmovirnist to sho uchen nosit shtani yaksho vin ye hlopcem Ce zadano yak 1 P T displaystyle P T abo jmovirnist togo sho vipadkovo vibranij uchen nosit shtani nezalezhno vid bud yakoyi inshoyi informaciyi Oskilki P T P T G P G P T B P B displaystyle P T P T G P G P T B P B zgidno zakonu povnoyi jmovirnosti ce stanovit P T 0 5 0 4 1 0 6 0 8 displaystyle P T 0 5 times 0 4 1 times 0 6 0 8 Vrahovuyuchi vsyu cyu informaciyu aposteriorna jmovirnist togo sho sposterigach bachit divchinu za umovi sho uchen yakogo bachit sposterigach nosit shtani mozhe buti obchisleno pidstavlennyam cih znachen do formuli P G T P T G P G P T 0 5 0 40 8 0 25 displaystyle P G T frac P T G P G P T frac 0 5 times 0 4 0 8 0 25 Intuyitivne poyasnennya cogo rezultatu polyagaye v tim sho z kozhnoyi sotni uchniv 60 hlopciv ta 40 divchat oskilki mi sposterigayemo shtani cej uchen ye odnim z 80 sho yih nosyat 60 hlopciv ta 20 divchat oskilki 20 80 1 4 z nih ye divchatami to jmovirnistyu togo sho uchen v shtanyah ye divchinoyu stanovit 1 4 ObchislennyaAposteriornij rozpodil imovirnosti odniyeyi vipadkovoyi zminnoyi pri zadanomu znachenni inshoyi mozhe buti obchisleno za teoremoyu Bayesa shlyahom mnozhennya apriornogo rozpodilu jmovirnosti na funkciyu pravdopodibnosti a potim dilennyam na en a same fX Y y x fX x LX Y y x fX u LX Y y u du displaystyle f X mid Y y x f X x L X mid Y y x over int infty infty f X u L X mid Y y u du daye aposteriornu funkciyu gustini jmovirnosti vipadkovoyi zminnoyi X displaystyle X z urahuvannyam danih Y y displaystyle Y y de fX x displaystyle f X x ye apriornoyu gustinoyu X displaystyle X LX Y y x fY X x y displaystyle L X mid Y y x f Y mid X x y ye funkciyeyu pravdopodibnosti yak funkciyi vid x displaystyle x fX u LX Y y u du displaystyle int infty infty f X u L X mid Y y u du ye normuvalnoyu staloyu ta fX Y y x displaystyle f X mid Y y x ye aposteriornoyu gustinoyu X displaystyle X z urahuvannyam danih Y y displaystyle Y y Imovirnij intervalAposteriorna jmovirnist ye umovnoyu jmovirnistyu obumovlenoyu vipadkovo sposterezhuvanimi danimi Vidtak vona ye vipadkovoyu zminnoyu Dlya vipadkovoyi zminnoyi vazhlivo pidbivati velichinu yiyi neviznachenosti Odnim zi sposobiv dosyagnennya ciyeyi meti ye nadannya jmovirnogo intervalu aposteriornoyi jmovirnosti KlasifikaciyaU klasifikaciyi aposteriorna jmovirnist vidobrazhaye neviznachenist vidnesennya sposterezhennya do pevnogo klasu div takozh jmovirnosti prinalezhnosti do klasiv Hocha metodi statistichnoyi klasifikaciyi za viznachennyam i porodzhuyut aposteriorni jmovirnosti fahivci z mashinnogo navchannya zazvichaj podayut znachennya prinalezhnosti sho ne peredbachayut zhodnoyi jmovirnisnoyi dovirchosti Bazhano peretvoryuvati abo peremasshtabovuvati znachennya prinalezhnosti u jmovirnosti prinalezhnosti do klasiv oskilki voni ye porivnyuvanimi j na dodachu legshe zastosovnimi dlya podalshoyi obrobki Div takozh en de Zachada Monti Golla en en en Bayesiv strukturnij chasovij ryad en PrimitkiChristopher M Bishop 2006 Pattern Recognition and Machine Learning Springer s 21 24 ISBN 978 0 387 31073 2 angl LiteraturaPeter M Lee 2004 vid 3rd Wiley ISBN 978 0 340 81405 5 Arhiv originalu za 25 veresnya 2015 Procitovano 24 veresnya 2015 angl