Імові́рний інтерва́л (англ. credible interval) у баєсовій статистиці — це інтервал в області визначення апостерірного розподілу ймовірності або [en], що застосовується для [en]. Його узагальненням для багатовимірних задач є імові́рний регіо́н (англ. credible region). Імовірні інтервали аналогічні довірчим інтервалам у частотній статистиці, хоча вони й різняться філософськими засадами; баєсові інтервали трактують свої межі як фіксовані, а оцінюваний параметр як випадкову змінну, тоді як частотні довірчі інтервали трактують свої межі як випадкові змінні, а параметр — як фіксовану величину.
Наприклад, в експерименті, що визначає розподіл невизначеності параметра , якщо ймовірністю того, що лежить між 35 та 45, є 0.95, то є 95-відсотковим імовірним інтервалом.
Вибір імовірного інтервалу
Імовірні інтервали не є унікальними на апостеріорному розподілі. Методи визначення зручних імовірних інтервалів включають:
- Обрання найвужчого інтервалу, що для одномодового розподілу охопить значення із найбільшою густиною ймовірності, включно з модою. Його іноді називають інтерва́лом найви́щої апостеріо́рної густини́ (англ. highest posterior density interval).
- Обрання інтервалу, для якого ймовірність знаходження перед ним є настільки ж правдоподібною, як і знаходження після нього. Цей інтервал включатиме медіану. Його іноді називають рівнохво́стим інтерва́лом (англ. equal-tailed interval).
- За умови існування середнього значення, обрання інтервалу, для якого (середнє значення) є центральною точкою.
Є можливим сформулювати вибір імовірного інтервалу в теорії рішень, і в цьому контексті оптимальний інтервал завжди буде множиною найбільшої густини ймовірності.
Відмінності від довірчого інтервалу
Частотний 95-відсотковий довірчий інтервал (англ. confidence interval) означає, що при великій кількості повторюваних проб 95% обчислюваних таким чином довірчих інтервалів включатимуть істинне значення параметра. Ймовірність того, що параметр знаходиться всередині заданого інтервалу (скажімо, 35—45), є або 0, або 1 (не випадковий невідомий параметр є або там, або ні). Із частотної точки зору параметр є фіксованим (не може розглядатися як такий, що має розподіл можливих значень), а довірчий інтервал є випадковим (оскільки він залежить від випадкової вибірки). Антельман (1997, С. 375) резюмує, що [95-відсотковий] довірчий інтервал це «… один інтервал, що згенеровано процедурою, яка даватиме правильні інтервали в 95% випадків».
У загальному випадку баєсові ймовірні інтервали не приймають однакового значення з частотними довірчими інтервалами, з двох причин:
- імовірні інтервали включають контексту інформацію з апріорного розподілу, що враховує характерні особливості задачі, тоді як довірчі інтервали ґрунтуються лише на даних;
- імовірні інтервали та довірчі інтервали трактують [en] докорінно відмінними шляхами.
У випадку єдиного параметра, та даних, що може бути зведено до єдиної достатньої статистики, може бути показано, що імовірні інтервали та довірчі інтервали дійсно прийматимуть однакове значення, якщо невідомий параметр є коефіцієнтом зсуву (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд ) з апріорним, що є рівномірним пласким розподілом; а також якщо невідомий параметр є коефіцієнтом масштабу (тобто послідовна функція ймовірності має вигляд
) з [en]
— крайнє з тієї причини, що взяття логарифма такого коефіцієнту масштабу перетворює його на коефіцієнт зсуву з рівномірним розподілом. Але ці випадки є виразно особливими (хоча й важливими); в цілому ж встановити таку еквівалентність неможливо.
Примітки
- Edwards, Ward, Lindman, Harold, Savage, Leonard J. (1963) «Bayesian statistical inference in psychological research». Psychological Review, 70, 193–242 (англ.)
- Lee, P.M. (1997) Bayesian Statistics: An Introduction, Arnold. (англ.)
- . Архів оригіналу за 19 серпня 2015. Процитовано 1 вересня 2015. (англ.)
- O'Hagan, A. (1994) Kendall's Advanced Theory of Statistics, Vol 2B, Bayesian Inference, Section 2.51. Arnold, (англ.)
- Antelman, G. (1997) Elementary Bayesian Statistics (Madansky, A. & McCulloch, R. eds.). Cheltenham, UK: Edward Elgar (англ.)
- Jaynes, E. T. (1976). «Confidence Intervals vs Bayesian Intervals [ 6 травня 2011 у Wayback Machine.]», in Foundations of Probability Theory, Statistical Inference, and Statistical Theories of Science, (W. L. Harper and C. A. Hooker, eds.), Dordrecht: D. Reidel, pp. 175 et seq (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Imovi rnij interva l angl credible interval u bayesovij statistici ce interval v oblasti viznachennya aposterirnogo rozpodilu jmovirnosti abo en sho zastosovuyetsya dlya en Jogo uzagalnennyam dlya bagatovimirnih zadach ye imovi rnij regio n angl credible region Imovirni intervali analogichni dovirchim intervalam u chastotnij statistici hocha voni j riznyatsya filosofskimi zasadami bayesovi intervali traktuyut svoyi mezhi yak fiksovani a ocinyuvanij parametr yak vipadkovu zminnu todi yak chastotni dovirchi intervali traktuyut svoyi mezhi yak vipadkovi zminni a parametr yak fiksovanu velichinu Napriklad v eksperimenti sho viznachaye rozpodil neviznachenosti parametra t displaystyle t yaksho jmovirnistyu togo sho t displaystyle t lezhit mizh 35 ta 45 ye 0 95 to 35 t 45 displaystyle 35 leq t leq 45 ye 95 vidsotkovim imovirnim intervalom Vibir imovirnogo intervaluImovirni intervali ne ye unikalnimi na aposteriornomu rozpodili Metodi viznachennya zruchnih imovirnih intervaliv vklyuchayut Obrannya najvuzhchogo intervalu sho dlya odnomodovogo rozpodilu ohopit znachennya iz najbilshoyu gustinoyu jmovirnosti vklyuchno z modoyu Jogo inodi nazivayut interva lom najvi shoyi aposterio rnoyi gustini angl highest posterior density interval Obrannya intervalu dlya yakogo jmovirnist znahodzhennya pered nim ye nastilki zh pravdopodibnoyu yak i znahodzhennya pislya nogo Cej interval vklyuchatime medianu Jogo inodi nazivayut rivnohvo stim interva lom angl equal tailed interval Za umovi isnuvannya serednogo znachennya obrannya intervalu dlya yakogo serednye znachennya ye centralnoyu tochkoyu Ye mozhlivim sformulyuvati vibir imovirnogo intervalu v teoriyi rishen i v comu konteksti optimalnij interval zavzhdi bude mnozhinoyu najbilshoyi gustini jmovirnosti Vidminnosti vid dovirchogo intervaluChastotnij 95 vidsotkovij dovirchij interval angl confidence interval oznachaye sho pri velikij kilkosti povtoryuvanih prob 95 obchislyuvanih takim chinom dovirchih intervaliv vklyuchatimut istinne znachennya parametra Jmovirnist togo sho parametr znahoditsya vseredini zadanogo intervalu skazhimo 35 45 ye abo 0 abo 1 ne vipadkovij nevidomij parametr ye abo tam abo ni Iz chastotnoyi tochki zoru parametr ye fiksovanim ne mozhe rozglyadatisya yak takij sho maye rozpodil mozhlivih znachen a dovirchij interval ye vipadkovim oskilki vin zalezhit vid vipadkovoyi vibirki Antelman 1997 S 375 rezyumuye sho 95 vidsotkovij dovirchij interval ce odin interval sho zgenerovano proceduroyu yaka davatime pravilni intervali v 95 vipadkiv U zagalnomu vipadku bayesovi jmovirni intervali ne prijmayut odnakovogo znachennya z chastotnimi dovirchimi intervalami z dvoh prichin imovirni intervali vklyuchayut kontekstu informaciyu z apriornogo rozpodilu sho vrahovuye harakterni osoblivosti zadachi todi yak dovirchi intervali gruntuyutsya lishe na danih imovirni intervali ta dovirchi intervali traktuyut en dokorinno vidminnimi shlyahami U vipadku yedinogo parametra ta danih sho mozhe buti zvedeno do yedinoyi dostatnoyi statistiki mozhe buti pokazano sho imovirni intervali ta dovirchi intervali dijsno prijmatimut odnakove znachennya yaksho nevidomij parametr ye koeficiyentom zsuvu tobto poslidovna funkciya jmovirnosti maye viglyad Pr x m f x m displaystyle mathrm Pr x mu f x mu z apriornim sho ye rivnomirnim plaskim rozpodilom a takozh yaksho nevidomij parametr ye koeficiyentom masshtabu tobto poslidovna funkciya jmovirnosti maye viglyad Pr x s f x s displaystyle mathrm Pr x s f x s z en Pr s I 1 s displaystyle mathrm Pr s I propto 1 s krajnye z tiyeyi prichini sho vzyattya logarifma takogo koeficiyentu masshtabu peretvoryuye jogo na koeficiyent zsuvu z rivnomirnim rozpodilom Ale ci vipadki ye virazno osoblivimi hocha j vazhlivimi v cilomu zh vstanoviti taku ekvivalentnist nemozhlivo PrimitkiEdwards Ward Lindman Harold Savage Leonard J 1963 Bayesian statistical inference in psychological research Psychological Review 70 193 242 angl Lee P M 1997 Bayesian Statistics An Introduction Arnold ISBN 0 340 67785 6 angl Arhiv originalu za 19 serpnya 2015 Procitovano 1 veresnya 2015 angl O Hagan A 1994 Kendall s Advanced Theory of Statistics Vol 2B Bayesian Inference Section 2 51 Arnold ISBN 0 340 52922 9 angl Antelman G 1997 Elementary Bayesian Statistics Madansky A amp McCulloch R eds Cheltenham UK Edward Elgar ISBN 978 1 85898 504 6 angl Jaynes E T 1976 Confidence Intervals vs Bayesian Intervals 6 travnya 2011 u Wayback Machine in Foundations of Probability Theory Statistical Inference and Statistical Theories of Science W L Harper and C A Hooker eds Dordrecht D Reidel pp 175 et seq angl