Аналітичний многовид

Аналіти́чний многови́д — це многовид з аналітичними функціями переходу.

Загальний опис

Топологічний многовид ${\displaystyle M}$ вимірності ${\displaystyle n}$ є дійсним аналітичним многовидом, якщо він має атлас ${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \alpha \in A}$, такий, що функції переходу ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }=\phi _{\beta }\circ \phi _{\alpha }^{-1}:\phi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \phi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$ — дійсно-аналітичні для всіх ${\displaystyle \alpha ,\beta \in A}$ з ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }\neq \emptyset }$. Такий атлас називається аналітичним. ${\displaystyle M}$ є комплексним (аналітичним) многовидом вимірності ${\displaystyle n}$, якщо для локальних карт ${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {C} ^{n}}$ функції переходу ${\displaystyle \phi _{\alpha }^{\beta }}$ — голоморфні відображення.

Аналітичний многовид — те саме, що аналітичний простір, усі точки якого неособливі. Комплексний многовид вимірності 1 називається рімановою поверхнею.

Приклади

• Дійсний проективний простір ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\})/\sim }$, де ${\displaystyle x\sim y\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$, якщо ${\displaystyle y=\lambda x}$ для деякого ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{\times }}$. Клас еквівалентності точки ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{0\}}$ позначимо ${\displaystyle [x_{1}:\dots :x_{n+1}]\in \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}}$. Атлас для ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}}$ може складатись з ${\displaystyle n+1}$ карти, індексованих ${\displaystyle 1\leq j\leq n+1}$: відкритих множин ${\displaystyle U_{j}=\{[x_{1}:\dots :x_{j}:\dots :x_{n+1}]\mid x_{j}\neq 0\}}$, гомеоморфізмів ${\displaystyle \phi _{j}:U_{j}\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \phi _{j}[x_{1}:\dots :x_{j}:\dots :x_{n+1}]=(x_{1}/x_{j},\dots ,x_{j-1}/x_{j},x_{j+1}/x_{j},\dots ,x_{n+1}/x_{j})}$, це визначає функції переходу ${\displaystyle \phi _{j}^{i}(y_{1},\dots ,y_{n})=(y_{1}/y_{i},\dots ,y_{i-1}/y_{i},y_{i+1}/y_{i},\dots ,y_{j-1}/y_{i},1/y_{i},y_{j}/y_{i},\dots ,y_{n}/y_{i})}$ для ${\displaystyle i<j}$ і подібні для ${\displaystyle i>j}$. Оскільки ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}}$ є ізоморфним ${\displaystyle S^{n}/\{1,-1\}}$, він є компактним многовидом.

• Комплексний проективний простір — комплексний компактний многовид ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\setminus \{0\})/\sim }$, визначається аналогічно дійсному.

Оскільки функції переходу алгебричні, то ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{n}}$ і ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}}$ є алгебричними многовидами.

Властивості

Будь-який компактний аналітичний підпростір комплексного многовиду ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{n}}$ є алгебричною підмножиною, тобто множиною спільних нулів сім'ї однорідних поліномів з ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n+1}]}$ (теорема Чжоу).

Поле ${\displaystyle K(X)}$ мероморфних функцій на компактному комплексному многовиді ${\displaystyle X}$ вимірності ${\displaystyle n}$ має степінь трансцендентності ${\displaystyle \mathrm {deg\,tr} \,K(X)\leq n}$ над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (теорема Зігеля).

Якщо ${\displaystyle \mathrm {deg\,tr} \,K(X)=n}$, то такий ${\displaystyle X}$ називається многовидом Мойшезона. Для ґратки загального положення ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{2n}}$, ${\displaystyle n\geq 2}$, комплексний тор ${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda }$ не є многовидом Мойшезона, оскільки ${\displaystyle K(X)=\mathbb {C} }$.

Кожен келерів многовид Мойшезона є проективним алгебричним, тобто допускає вкладення в проективний простір як алгебрична підмножина (теорема Мойшезона).

Див. також

• Ріманів многовид
• Диференційовний многовид
• Комплексний многовид

Література

• Велика українська енциклопедія

• Hartshorne R., Algebraic geometry, Graduate texts in mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1977.