Індуковане розшарування

Індуковане розшарування — розшарування ${\displaystyle \pi ':f^{*}(E)\to B'}$, індуковане відображенням ${\displaystyle f\colon B'\to B}$ і розшаруванням ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$, де ${\displaystyle f^{*}(E)}$ — підпростір прямого добутку ${\displaystyle B'\times E}$, що складається з пар ${\displaystyle (b',e)}$, виду:

${\displaystyle \{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subset B'\times E}$,

для яких ${\displaystyle f(b')=\pi (e)}$, а проєкція за означенням задана як ${\displaystyle \pi '\colon (b',e)\mapsto b'}$.

Шаром f^*E над точкою b′ простору B′ є шар у E над f(b′). Тобто як множина f^*E є диз'юнктним об'єднанням всіх цих шарів.

Відображення ${\displaystyle {\tilde {f}}\colon f^{*}(E)\to E}$ індукованого розшарування в вихідне розшарування, задане формулою ${\displaystyle {\tilde {f}}(b',e)=e}$ є морфізмом розшарувань, що накриває ${\displaystyle f}$. При цьому комутативна діаграма утворює декартовий квадрат:

Властивості

• Для кожної точки ${\displaystyle b'\in B'}$ обмеження на шар є гомеоморфізмом.
• Для будь-якого розшарування ${\displaystyle \eta \colon X\to B'}$ і морфізму розшарувань ${\displaystyle h:X\to E}$, що накриває ${\displaystyle f}$, існує один і тільки один ${\displaystyle B'}$-морфізм ${\displaystyle k:X\to f^{*}(E)}$, що задовольняє співвідношенню ${\displaystyle {\tilde {f}}k=h}$.
• Розшарування, індуковані ізоморфними розшаруваннями, є ізоморфними. Розшарування, індуковане постійним відображенням є ізоморфним тривіальному розшаруванню.
• Для будь-якого перетину ${\displaystyle s}$ розшарування ${\displaystyle \pi }$ відображення ${\displaystyle \sigma \colon B'\to f^{*}(E)}$, задане формулою ${\displaystyle \sigma (b')=(b',sf(b'))}$, є перетином індукованого розшарування ${\displaystyle f^{*}(\pi )}$ і задовольняє співвідношенню ${\displaystyle {\tilde {f}}\sigma =sf}$.
• Якщо (U, φ) є локальною тривіалізацією розшарування E, тоді (f⁻¹U, ψ) є локальною тривіалізацією f^*E де

${\displaystyle \psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,}$

Тобто у цьому випадку f^*E теж є локально тривіальним розшаруванням над B′ з шаром F.

• Якщо локально тривіальне розшарування E → B також має структурну групу G з функціями перетворення t_ij (для локальних тривіалізацій {(U_i, φ_i)}, тоді G також буде структурною групою індукованого розшарування f^*E. Функції перетворення розшарування f^*E рівні

${\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.}$

• Якщо E → B є векторним чи головним розшаруванням, то таким же розшаруванням є f^*E. У випадку головних розшарувань права дія групи G на f^*E визначається як

${\displaystyle (x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)}$

Звідси випливає, що ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ є еквіваріантним відображенням і тому задає морфізм головних розшарувань.

Література

• Steenrod, N. (1951). The Topology of Fibre Bundles. Princeton: Princeton University Press. ISBN .
• Husemoller, D. (1994). Fibre Bundles. Graduate Texts in Mathematics. Т. 20 (вид. Third). New York: Springer-Verlag. ISBN .