Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

В математиці давньоєгипетське множення також відоме як єгипетське множення ефіопське множення російське множення або сел

Єгипетський метод множення

Єгипетський метод множення

В математиці, давньоєгипетське множення (також відоме як єгипетське множення, ефіопське множення, російське множення або селянське множення)  — один з двох методів множення, що використовувалися писарями, полягає в систематичному підході до множення двох чисел. Алгоритм не вимагає таблиці множення, тільки можливість множити, ділити на 2, і додавати. Метод використовує розкладання одного із співмножників (зазвичай більшого) в суму степенів двійки та створює таблицю подвоєнь другого множника. Давньоєгипетське множення досі використовується в деяких галузях.

Інша єгипетська техніка множення і ділення була відома з ієратичного письма і математичного папірусу Рінда написаного в сімнадцятому столітті до н. е. писарем [en].

Хоча в стародавньому Єгипті поняття основи 2 не існує, алгоритм, по суті, той же, що і алгоритм [en]. Тому метод як інтерпретація перетворення в двійковий формат, як і раніше широко використовується сьогодні, і реалізується як бінарний мультиплікатор в сучасних комп'ютерних процесорах.

Давньоєгипетське множення

Розклад числа

Стародавні єгиптяни складали таблиці розкладу великого числа за степенями двійки, а не перераховували їх кожного разу. Розкладання числа, таким чином, полягає у знаходженні степенів двійки, що утворюють його. Єгиптяни знали емпірично, що отриманий степінь двійки з'являтиметься у даному числі тільки один раз. Розкладаючи, вони продовжували процес методично: спочатку знаходили найбільший степінь двійки, що є меншим або дорівнює числу про яке йдеться, далі віднімали це число і повторювали процес, поки не залишиться нічого. (Єгиптяни не використовували у математиці числа нуль.)

Для того, щоб знайти найбільший степінь 2, потрібно подвоювати свою відповідь, починаючи з 1, наприклад:

1 × 2 = 2
2 × 2 = 4
4 × 2 = 8
8 × 2 = 16
16 × 2 = 32

Приклад розкладу числа 25:

Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 25 це 16: 25 — 16 = 9
Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 9 це 8: 9 — 8 = 1
Найбільший степінь двійки, що є меншим чи дорівнює 1 це 1: 1 — 1 = 0
25 таким чином є сумою степенів двійки: 16, 8 та 1.

Створення таблиці

Після розкладу першого множника необхідно побудувати таблицю степенів подвоєння другого множника (як правило, меншого) від одиниці до найбільшого степеня двійки, знайденого під час розкладу більшого числа. В таблиці кожен наступний рядок отримується шляхом множення попереднього рядка на два.

Наприклад, якщо найбільший степінь двійки, знайдений під час розкладу, це 16, а другий співмножник дорівнює 7, то таблиця створюється таким чином:

1 7
2 14
4 28
8 56
16 112

Результат

Результат отримується шляхом додавання чисел з другої колонки для яких відповідний степінь двійки становить частину розкладу першого множника.

Головною перевагою цього методу є те, що він використовує лише додавання, віднімання та множення на два.

Приклад

Нижче наведено приклад множення 238 на 13.

1 13
✓ 2 26
✓ 4 52
✓ 8 104
16 208
✓ 32 416
✓ 64 832
✓ 128 1664
238 3094

Оскільки 238 = 2 + 4 + 8 + 32 + 64 + 128, то отримаємо:

238 × 13 = (128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 2) × 13
= 128 × 13 + 64 × 13 + 32 × 13 + 8 × 13 + 4 × 13 + 2 × 13
= 1664 + 832 + 416 + 104 + 52 + 26
= 3094

Російське селянське множення

В Російському селянському методі один з множників записують зліва і поступово скорочують вдвічі, відкидаючи залишки, допоки значення не стане 1 (або -1, в цьому випадку в кінцевому підсумку добуток є від'ємним), в той час як число у правій колонці подвоюється, як і раніше. Лінії з парними числами в лівій колоці вкреслюються, а числа, що залишилися зправа підсумовуються.

Приклад

Щоб помножити 238 на 13, менше з чисел (для того, щоб зменшити кількість кроків) 13 записують зліва, а більше — зправа. Ліве число поступово зменшується вдвічі (відкидаючи залишок), а праве число подвоюється до тих пір, поки зліва не утвориться 1:

 13  238
 6  (відкидаємо залишок) 476
 3  952
 1  (відкидаємо залишок) 1904

Лінії з парними числами з лівої колонки викреслюються, а числа що залишились підсумовуються, даючи у відповіді 3094:

 13   238 
 6   476 
 3   952 
 1  + 1904 
 3094 

Алгоритм можна проілюстровати через двійкове представлення чисел:

1101 (13) 11101110 (238)
110 (6) 111011100 (476)
11 (3) 1110111000 (952)
1 (1) 11101110000 (1904)
       
1 1 1 0 1 1 1 0 (238)
× 1 1 0 1 (13)
1 1 1 0 1 1 1 0 (238)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 (0)
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 (952)
+ 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 (1904)
1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 (3094)

Чому метод працює?

Давайте знайдемо як приклад 9*8:

9 8
18 4
36 2
72 1

Оскільки 72 єдине число, що залишилось в лівій колонці, нашою відповіддю є 72.

Зверніть увагу, що множенням на 2 чисел однієї колонки і діленням на 2 іншої, ми не вплинули на загальний результат:

9*8 image
= 18*4 image
= 36*2 image
= 72*1 image

Ми перегрупували числа по-іншому, не змінюючи відповідь.

Якщо ми перемножимо 8*9, то маємо отримати той же результат. Але чи зможемо ми пояснити нашу відповідь таким чином?

8 9
16 4
32 2
64 1
72

Коли ми поділили 9 навпіл, ми відкинули залишок, тому що 9 є непарним числом. Оскільки ми «втратили» одиницю, добуток кожного рядка тепер є меншим. Знайдемо різницю між першим та другим рядком:

8*9 — 16*4 = 72 — 64 = 8

Ми можемо переписати різницю у вигляді суми:

8*9 image
= 16*4 + 8 image

Оскільки наш добуток зменшився на 8, ми повинні додати 8 в кінці. Можемо розглядати додавання як поновлення 1 групи з 8, так як ми втратили це раніше. В іншому прикладі ми могли б відновлювати декілька різних груп чисел.

Як було зазначено, стародавні єгиптяни винайшли подібний метод множення тисячами років раніше, а сучасні комп'ютери все ще використовують такі методи.

Дивитись також

Література

  1. . Архів оригіналу за 4 серпня 2017. Процитовано 20 березня 2016.

Інші ресурси

  • Boyer, Carl B. (1968) A History of Mathematics. New York: John Wiley.
  • Brown, Kevin S. (1995) The Akhmin Papyrus 1995 — Egyptian Unit Fractions.
  • Bruckheimer, Maxim, and Y. Salomon (1977) "Some Comments on R. J. Gillings' Analysis of the 2/n Table in the Rhind Papyrus, " Historia Mathematica 4: 445-52.
  • Bruins, Evert M. (1953) Fontes matheseos: hoofdpunten van het prae-Griekse en Griekse wiskundig denken. Leiden: E. J. Brill.
  • ------- (1957) "Platon et la table égyptienne 2/n, " Janus 46: 253-63.
  • Bruins, Evert M (1981) "Egyptian Arithmetic, " Janus 68: 33-52.
  • ------- (1981) "Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics, " Janus 68: 281-97.
  • Burton, David M. (2003) History of Mathematics: An Introduction. Boston Wm. C. Brown.
  • Chace, Arnold Buffum, et al. (1927) The Rhind Mathematical Papyrus. Oberlin: Mathematical Association of America.
  • Cooke, Roger (1997) The History of Mathematics. A Brief Course. New York, .
  • Couchoud, Sylvia. «Mathématiques égyptiennes». Recherches sur les connaissances mathématiques de l'Egypte pharaonique., Paris, Le Léopard d'Or, 1993.
  • Daressy, Georges. «Akhmim Wood Tablets», Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
  • Eves, Howard (1961) An Introduction to the History of Mathematics. New York, Holt, Rinehard & Winston.
  • Fowler, David H. (1999) The mathematics of Plato's Academy: a new reconstruction. Oxford Univ. Press.
  • Gardiner, Alan H. (1957) Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. Oxford University Press.
  • Gardner, Milo (2002) «The Egyptian Mathematical Leather Roll, Attested Short Term and Long Term» in History of the Mathematical Sciences, Ivor Grattan-Guinness, B.C. Yadav (eds), New Delhi, Hindustan Book Agency:119-34.
  • -------- «Mathematical Roll of Egypt» in Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures. Springer, Nov. 2005.
  • Gillings, Richard J. (1962) "The Egyptian Mathematical Leather Roll, " Australian Journal of Science 24: 339-44. Reprinted in his (1972) Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press. Reprinted by Dover Publications, 1982.
  • -------- (1974) «The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus: How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It?» Archive for History of Exact Sciences 12: 291-98.
  • -------- (1979) "The Recto of the RMP and the EMLR, « Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442—447.
  • -------- (1981) „The Egyptian Mathematical Leather Role–Line 8. How Did the Scribe Do it?“ Historia Mathematica: 456-57.
  • Glanville, S.R.K. „The Mathematical Leather Roll in the British Museum“ Journal of Egyptian Archaeology 13, London (1927): 232–8
  • Griffith, Francis Llewelyn. The Petrie Papyri. Hieratic Papyri from Kahun and Gurob (Principally of the Middle Kingdom), Vols. 1, 2. Bernard Quaritch, London, 1898.
  • . Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T. E. Peet. The Journal of Egyptian Archaeology 12 London, (1926): 123—137.
  • Hultsch, F, Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8, Ubersich uber die Lehre von den Zerlegangen, (1895):167-71.
  • Imhausen, Annette. „Egyptian Mathematical Texts and their Contexts“, Science in Context 16, Cambridge (UK), (2003): 367—389.
  • Joseph, George Gheverghese. The Crest of the Peacock/the non-European Roots of Mathematics, Princeton, Princeton University Press, 2000
  • , and . Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory, Mathematical Association of America, 1991.
  • „Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece“. Historia Mathematica 9 Berlin, (1982): 133—171.
  • Legon, John A.R. „A Kahun Mathematical Fragment“. Discussions in Egyptology, 24 Oxford, (1992).
  • Lüneburg, H. (1993) „Zerlgung von Bruchen in Stammbruche“ Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Mannheim: 81=85.
  • (1969) [1957]. (вид. 2). . ISBN . Архів оригіналу за 4 березня 2021. Процитовано 20 березня 2016.
  • Robins, Gay. and Charles Shute, The Rhind Mathematical Papyrus: an Ancient Egyptian Text» London, British Museum Press, 1987.
  • Roero, C. S. «Egyptian mathematics» Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences" I. Grattan-Guinness (ed), London, (1994): 30–45.
  • Sarton, George. Introduction to the History of Science, Vol I, New York, Williams & Son, 1927
  • Scott, A. and Hall, H.R., «Laboratory Notes: Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC», British Museum Quarterly, Vol 2, London, (1927): 56.
  • «On a Point in the Theory of Vulgar Fractions»: American Journal Of Mathematics, 3 Baltimore (1880): 332—335, 388—389.
  • Vogel, Kurt. "Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss ägyptischer Mathematik Archiv für Geschichte der Mathematik, V 2, Julius Schuster, Berlin (1929): 386—407
  • van der Waerden, Bartel Leendert. Science Awakening, New York, 1963
  • Hana Vymazalova, The Wooden Tablets from Cairo: The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt, Archiv Orientalai, Charles U Prague, 2002.

Посилання

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

V matematici davnoyegipetske mnozhennya takozh vidome yak yegipetske mnozhennya efiopske mnozhennya rosijske mnozhennya abo selyanske mnozhennya odin z dvoh metodiv mnozhennya sho vikoristovuvalisya pisaryami polyagaye v sistematichnomu pidhodi do mnozhennya dvoh chisel Algoritm ne vimagaye tablici mnozhennya tilki mozhlivist mnozhiti diliti na 2 i dodavati Metod vikoristovuye rozkladannya odnogo iz spivmnozhnikiv zazvichaj bilshogo v sumu stepeniv dvijki ta stvoryuye tablicyu podvoyen drugogo mnozhnika Davnoyegipetske mnozhennya dosi vikoristovuyetsya v deyakih galuzyah Insha yegipetska tehnika mnozhennya i dilennya bula vidoma z iyeratichnogo pisma i matematichnogo papirusu Rinda napisanogo v simnadcyatomu stolitti do n e pisarem en Hocha v starodavnomu Yegipti ponyattya osnovi 2 ne isnuye algoritm po suti toj zhe sho i algoritm en Tomu metod yak interpretaciya peretvorennya v dvijkovij format yak i ranishe shiroko vikoristovuyetsya sogodni i realizuyetsya yak binarnij multiplikator v suchasnih komp yuternih procesorah Davnoyegipetske mnozhennyaRozklad chisla Starodavni yegiptyani skladali tablici rozkladu velikogo chisla za stepenyami dvijki a ne pererahovuvali yih kozhnogo razu Rozkladannya chisla takim chinom polyagaye u znahodzhenni stepeniv dvijki sho utvoryuyut jogo Yegiptyani znali empirichno sho otrimanij stepin dvijki z yavlyatimetsya u danomu chisli tilki odin raz Rozkladayuchi voni prodovzhuvali proces metodichno spochatku znahodili najbilshij stepin dvijki sho ye menshim abo dorivnyuye chislu pro yake jdetsya dali vidnimali ce chislo i povtoryuvali proces poki ne zalishitsya nichogo Yegiptyani ne vikoristovuvali u matematici chisla nul Dlya togo shob znajti najbilshij stepin 2 potribno podvoyuvati svoyu vidpovid pochinayuchi z 1 napriklad 1 2 2 2 2 4 4 2 8 8 2 16 16 2 32 Priklad rozkladu chisla 25 Najbilshij stepin dvijki sho ye menshim chi dorivnyuye 25 ce 16 25 16 9 Najbilshij stepin dvijki sho ye menshim chi dorivnyuye 9 ce 8 9 8 1 Najbilshij stepin dvijki sho ye menshim chi dorivnyuye 1 ce 1 1 1 0 25 takim chinom ye sumoyu stepeniv dvijki 16 8 ta 1 Stvorennya tablici Pislya rozkladu pershogo mnozhnika neobhidno pobuduvati tablicyu stepeniv podvoyennya drugogo mnozhnika yak pravilo menshogo vid odinici do najbilshogo stepenya dvijki znajdenogo pid chas rozkladu bilshogo chisla V tablici kozhen nastupnij ryadok otrimuyetsya shlyahom mnozhennya poperednogo ryadka na dva Napriklad yaksho najbilshij stepin dvijki znajdenij pid chas rozkladu ce 16 a drugij spivmnozhnik dorivnyuye 7 to tablicya stvoryuyetsya takim chinom 1 7 2 14 4 28 8 56 16 112 Rezultat Rezultat otrimuyetsya shlyahom dodavannya chisel z drugoyi kolonki dlya yakih vidpovidnij stepin dvijki stanovit chastinu rozkladu pershogo mnozhnika Golovnoyu perevagoyu cogo metodu ye te sho vin vikoristovuye lishe dodavannya vidnimannya ta mnozhennya na dva Priklad Nizhche navedeno priklad mnozhennya 238 na 13 1 13 2 26 4 52 8 104 16 208 32 416 64 832 128 1664 238 3094 Oskilki 238 2 4 8 32 64 128 to otrimayemo 238 13 128 64 32 8 4 2 13 128 13 64 13 32 13 8 13 4 13 2 13 1664 832 416 104 52 26 3094Rosijske selyanske mnozhennyaV Rosijskomu selyanskomu metodi odin z mnozhnikiv zapisuyut zliva i postupovo skorochuyut vdvichi vidkidayuchi zalishki dopoki znachennya ne stane 1 abo 1 v comu vipadku v kincevomu pidsumku dobutok ye vid yemnim v toj chas yak chislo u pravij kolonci podvoyuyetsya yak i ranishe Liniyi z parnimi chislami v livij koloci vkreslyuyutsya a chisla sho zalishilisya zprava pidsumovuyutsya Priklad Shob pomnozhiti 238 na 13 menshe z chisel dlya togo shob zmenshiti kilkist krokiv 13 zapisuyut zliva a bilshe zprava Live chislo postupovo zmenshuyetsya vdvichi vidkidayuchi zalishok a prave chislo podvoyuyetsya do tih pir poki zliva ne utvoritsya 1 13 238 6 vidkidayemo zalishok 476 3 952 1 vidkidayemo zalishok 1904 Liniyi z parnimi chislami z livoyi kolonki vikreslyuyutsya a chisla sho zalishilis pidsumovuyutsya dayuchi u vidpovidi 3094 13 238 6 476 3 952 1 1904 3094 Algoritm mozhna proilyustrovati cherez dvijkove predstavlennya chisel 1101 13 11101110 238 110 6 111011100 476 11 3 1110111000 952 1 1 11101110000 1904 1 1 1 0 1 1 1 0 238 1 1 0 1 13 1 1 1 0 1 1 1 0 238 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 952 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1904 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 3094 Chomu metod pracyuye Davajte znajdemo yak priklad 9 8 9 8 18 4 36 2 72 1 Oskilki 72 yedine chislo sho zalishilos v livij kolonci nashoyu vidpoviddyu ye 72 Zvernit uvagu sho mnozhennyam na 2 chisel odniyeyi kolonki i dilennyam na 2 inshoyi mi ne vplinuli na zagalnij rezultat 9 8 18 4 36 2 72 1 Mi peregrupuvali chisla po inshomu ne zminyuyuchi vidpovid Yaksho mi peremnozhimo 8 9 to mayemo otrimati toj zhe rezultat Ale chi zmozhemo mi poyasniti nashu vidpovid takim chinom 8 9 16 4 32 2 64 1 72 Koli mi podilili 9 navpil mi vidkinuli zalishok tomu sho 9 ye neparnim chislom Oskilki mi vtratili odinicyu dobutok kozhnogo ryadka teper ye menshim Znajdemo riznicyu mizh pershim ta drugim ryadkom 8 9 16 4 72 64 8 Mi mozhemo perepisati riznicyu u viglyadi sumi 8 9 16 4 8 Oskilki nash dobutok zmenshivsya na 8 mi povinni dodati 8 v kinci Mozhemo rozglyadati dodavannya yak ponovlennya 1 grupi z 8 tak yak mi vtratili ce ranishe V inshomu prikladi mi mogli b vidnovlyuvati dekilka riznih grup chisel Yak bulo zaznacheno starodavni yegiptyani vinajshli podibnij metod mnozhennya tisyachami rokiv ranishe a suchasni komp yuteri vse she vikoristovuyut taki metodi Divitis takozhMatematika v Starodavnomu Yegipti Dovga arifmetika Dvijkova sistema chislennyaLiteratura Arhiv originalu za 4 serpnya 2017 Procitovano 20 bereznya 2016 Inshi resursi Boyer Carl B 1968 A History of Mathematics New York John Wiley Brown Kevin S 1995 The Akhmin Papyrus 1995 Egyptian Unit Fractions Bruckheimer Maxim and Y Salomon 1977 Some Comments on R J Gillings Analysis of the 2 n Table in the Rhind Papyrus Historia Mathematica 4 445 52 Bruins Evert M 1953 Fontes matheseos hoofdpunten van het prae Griekse en Griekse wiskundig denken Leiden E J Brill 1957 Platon et la table egyptienne 2 n Janus 46 253 63 Bruins Evert M 1981 Egyptian Arithmetic Janus 68 33 52 1981 Reducible and Trivial Decompositions Concerning Egyptian Arithmetics Janus 68 281 97 Burton David M 2003 History of Mathematics An Introduction Boston Wm C Brown Chace Arnold Buffum et al 1927 The Rhind Mathematical Papyrus Oberlin Mathematical Association of America Cooke Roger 1997 The History of Mathematics A Brief Course New York John Wiley amp Sons Couchoud Sylvia Mathematiques egyptiennes Recherches sur les connaissances mathematiques de l Egypte pharaonique Paris Le Leopard d Or 1993 Daressy Georges Akhmim Wood Tablets Le Caire Imprimerie de l Institut Francais d Archeologie Orientale 1901 95 96 Eves Howard 1961 An Introduction to the History of Mathematics New York Holt Rinehard amp Winston Fowler David H 1999 The mathematics of Plato s Academy a new reconstruction Oxford Univ Press Gardiner Alan H 1957 Egyptian Grammar being an Introduction to the Study of Hieroglyphs Oxford University Press Gardner Milo 2002 The Egyptian Mathematical Leather Roll Attested Short Term and Long Term in History of the Mathematical Sciences Ivor Grattan Guinness B C Yadav eds New Delhi Hindustan Book Agency 119 34 Mathematical Roll of Egypt in Encyclopaedia of the History of Science Technology and Medicine in Non Western Cultures Springer Nov 2005 Gillings Richard J 1962 The Egyptian Mathematical Leather Roll Australian Journal of Science 24 339 44 Reprinted in his 1972 Mathematics in the Time of the Pharaohs MIT Press Reprinted by Dover Publications 1982 1974 The Recto of the Rhind Mathematical Papyrus How Did the Ancient Egyptian Scribe Prepare It Archive for History of Exact Sciences 12 291 98 1979 The Recto of the RMP and the EMLR Historia Mathematica Toronto 6 1979 442 447 1981 The Egyptian Mathematical Leather Role Line 8 How Did the Scribe Do it Historia Mathematica 456 57 Glanville S R K The Mathematical Leather Roll in the British Museum Journal of Egyptian Archaeology 13 London 1927 232 8 Griffith Francis Llewelyn The Petrie Papyri Hieratic Papyri from Kahun and Gurob Principally of the Middle Kingdom Vols 1 2 Bernard Quaritch London 1898 Review of The Rhind Mathematical Papyrus by T E Peet The Journal of Egyptian Archaeology 12 London 1926 123 137 Hultsch F Die Elemente der Aegyptischen Theihungsrechmun 8 Ubersich uber die Lehre von den Zerlegangen 1895 167 71 Imhausen Annette Egyptian Mathematical Texts and their Contexts Science in Context 16 Cambridge UK 2003 367 389 Joseph George Gheverghese The Crest of the Peacock the non European Roots of Mathematics Princeton Princeton University Press 2000 and Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory Mathematical Association of America 1991 Techniques of Fractions in Ancient Egypt and Greece Historia Mathematica 9 Berlin 1982 133 171 Legon John A R A Kahun Mathematical Fragment Discussions in Egyptology 24 Oxford 1992 Luneburg H 1993 Zerlgung von Bruchen in Stammbruche Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnugen eines Mathematikers Wissenschaftsverlag Mannheim 81 85 1969 1957 vid 2 ISBN 978 0 486 22332 2 Arhiv originalu za 4 bereznya 2021 Procitovano 20 bereznya 2016 Robins Gay and Charles Shute The Rhind Mathematical Papyrus an Ancient Egyptian Text London British Museum Press 1987 Roero C S Egyptian mathematics Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences I Grattan Guinness ed London 1994 30 45 Sarton George Introduction to the History of Science Vol I New York Williams amp Son 1927 Scott A and Hall H R Laboratory Notes Egyptian Mathematical Leather Roll of the Seventeenth Century BC British Museum Quarterly Vol 2 London 1927 56 On a Point in the Theory of Vulgar Fractions American Journal Of Mathematics 3 Baltimore 1880 332 335 388 389 Vogel Kurt Erweitert die Lederolle unserer Kenntniss agyptischer Mathematik Archiv fur Geschichte der Mathematik V 2 Julius Schuster Berlin 1929 386 407 van der Waerden Bartel Leendert Science Awakening New York 1963 Hana Vymazalova The Wooden Tablets from Cairo The Use of the Grain Unit HK3T in Ancient Egypt Archiv Orientalai Charles U Prague 2002 Posilannyahttp planetmath org encyclopedia RMP36AndThe2nTable html 11 bereznya 2015 u Wayback Machine RMP 36 and the 2 n table http rmprectotable blogspot com 11 bereznya 2016 u Wayback Machine RMP 2 n table http planetmath org encyclopedia EgyptianMath3 html 13 veresnya 2012 u Wayback Machine http weekly ahram org eg 2007 844 heritage htm 25 chervnya 2013 u Wayback Machine http planetmath org encyclopedia EgyptianMathematicalLeatherRoll2 html 6 lipnya 2008 u Wayback Machine http emlr blogspot com 18 kvitnya 2020 u Wayback Machine Egyptian Mathematical Leather Roll http planetmath org encyclopedia FirstLCMMethodRedAuxiliaryNumbers html 13 veresnya 2012 u Wayback Machine http planetmath org encyclopedia AhmesBirdFeedingRateMethod html 15 lyutogo 2009 u Wayback Machine Theoretical expected economic control numbers RMP 83 http planetmath org encyclopedia RationalNumbers html 6 chervnya 2012 u Wayback Machine http mathforum org kb message jspa messageID 6579539 amp tstart 0 3 bereznya 2016 u Wayback Machine Math forum and two ways to calculate 2 7 Russian Peasant Multiplication 19 bereznya 2016 u Wayback Machine The Russian Peasant Algorithm pdf file 3 bereznya 2016 u Wayback Machine Peasant Multiplication 4 serpnya 2017 u Wayback Machine from cut the knot Egyptian Multiplication 8 bereznya 2016 u Wayback Machine by Ken Caviness Russian Peasant Multiplication 8 grudnya 2013 u Wayback Machine at Michael S Schneider explains how the Ancient Egyptians and Chinese and modern computers multiply and divide 13 kvitnya 2016 u Wayback Machine

Дата публікації:
Топ