Характер (або числовий характер, або характер Діріхле) по модулю (де — ціле число) — комплекснозначна періодична функція на множині цілих чисел. Характери Діріхле мають важливі застосування у теорії чисел зокрема при означенні (L-функції Діріхле) .
Означення
Аксіоматичне означення
Характером Діріхле по модулю називається функція
із множини цілих чисел
у множину комплексних чисел
, що задовольняє умови:
.
для будь-яких
і
(мультиплікативність).
- Існує натуральне число, таке що
для будь-якого
(періодичність).
Якщо деяка функція цілочислового аргументу є періодичною із періодом то вона є також періодичною із періодом
. Відповідно існує найменше додатне число, що є періодом функції. Воно називається основним модулем характеру Діріхле. Всі періоди розклад яких на прості множники містить, ті ж прості числа, що містяться у основному періоді називаються модулями характеру Діріхле (і тоді функція є характером Діріхле по цьому модулю).
За допомогою класів лишків
Нехай — множина оборотних елементів кільця лишків
за модулем
. Елементами є класи лишків
де числа
є взаємно простими з
.
є (комутативною групою) порядок якої дорівнює значенню функції Ейлера
. Характером Діріхле називається гомоморфізм груп:
.
Еквівалентність означень
Для гомоморфізму груп можна ввести функцію
, як
Тоді , тобто функція не є рівною нулю для всіх значень. Також функція є періодичною оскільки згідно означення вона приймає однакові значення на всіх елементах будь-якого класу лишків. З властивостей гомоморфізмів груп і класів лишків також випливає мультиплікативність функції. Тобто кожен характер Діріхле у другому означенні породжує характер Діріхле у першому означенні.
Навпаки, якщо — характер Діріхле згідно першого означення і
— його основний модуль то згідно періодичності він визначає відображення на класах лишків за модулем
. Також якщо
для деякого
то
і тому
. Із мультиплікативності випливає, що індукована функція на класах лишків за модулем
є теж мультиплікативною.
Для того щоб довести, що кожен характер Діріхле у першому означенні породжується характером Діріхле у другому означенні достатньо довести, що якщо
і
є взаємно простими числами і
якщо
і
не є взаємно простими.
Нехай . Тоді існують такі два цілих числа
і
, що
. Отже, враховуючи періодичність
і тому
.
Нехай тепер і
. Оскільки
, то існує таке ціле число
, що
, бо в іншому випадку
було б періодом
. Але
Тому і з мультиплікативності
.
Властивості
- Як було показано при доведенні еквівалентності означень
і
якщо
і
не є взаємно простими, де
— основний модуль. Якщо ж
і
є взаємно простими, то згідно теореми Ейлера
, де
— функція Ейлера і тому також
, тобто ненульові значення характера Діріхле модуля
є коренями з одиниці степеня
.
- Нехай
— характери Діріхле з основними модулями
відповідно. Тоді добуток
є характером Діріхле основний модуль якого є дільником найменшого спільного кратного чисел
.
- Нехай
— характер Діріхле з основним модулем
, де всі числа
— попарно взаємно прості. Тоді існує єдина система характерів
основні модулі яких рівні
і також
.
- Існує
різних характерів по модулю
. Вони утворюють групу порядку
, ізоморфну мультиплікативній підгрупі
оборотних елементів кільця лишків за модулем
.
Приклади
- Функція
є характером, що називається тривіальним характером.
- Характер,
, називається головним характером по модулю
. В групі характерів по модулю
він є одиничним елементом.
- Нехай
— непарне натуральне число. Введемо функцію:
,
- де
— символ Якобі. Ця функція буде характером Діріхле за модулем
.
- Нехай
— непарне просте число,
— натуральне число,
— первісний корінь по модулю
і якщо
то
, тобто найменше натуральне число для якого
. Нарешті, нехай число
— будь-який корінь рівняння
, де
. Визначимо функцію
умовами:
- Ця функція є характером по модулю
, де
.
- Нехай
— натуральне число і
— його розклад на прості множники. Нехай
, якщо
або
і
, якщо
. Нехай також
і
— індекси, як вище (відповідно по модулях
), а
— найменші натуральні числа для яких
. Якщо —
— корені з одиниці степенів
, то функція
- є характером Діріхле за модулем
. Вибираючи різні корені з одиниці одержуються усі
характери Діріхле за модулем
.
Основні співвідношення
;
, де сума є за всіма характерами.
- Відношення ортогональності:
- Відповідно при інтерпретації характера Діріхле як гомоморфізму груп
, характери Діріхле утворюють ортогональну базу усіх (характерів групи)
.
Примітивний характер
Нехай — характер Діріхле за модулем
. Найменший дільник
числа
такий, що для всіх цілих чисел
таких що
,
і
виконується
називається провідним модулем або кондуктором характера.
Якщо кондуктор характера Діріхле за модулем є рівним
, то характер називається примітивним.
Якщо — непримітивний характер кондуктора
, то існує примітивний характер
з модулем
, що породжує (індукує) характер
, тобто:
Характер є примітивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого числа
, що ділить
і
, існує ціле число
, що задовольняє умови:
.
У термінах гомоморфізмів груп характер називається примітивним, якщо не існує власного дільника
числа
, характера
і гомоморфізму
для яких
Див. також
- (Сума Гаусса)
- (L-функція Діріхле)
Література
- Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — Москва: Изд-во Московского университета, 1984.
- Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — Москва: УРСС, 2004.
- Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — Москва: ОГИЗ, 1947.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет