Формалізм Джонса математичний апарат для аналізу поляризації світлової хвилі в якому поляризація задається так званими в

Формалізм Джонса — математичний апарат для аналізу поляризації світлової хвилі, в якому поляризація задається так званими векторами Джонса, а лінійні оптичні елементи — матрицями Джонса. Формалізм запропонував 1941 року . Формалізм Джонса застосовний для повністю поляризованого світла, для неполяризованого або частково поляризованого світла потрібно використовувати .

Вектор Джонса

Вектор Джонса описує поляризацію світла в пустоті або іншому однорідному ізотропному середовищі за відсутності поглинання, там де світло можна описати поперечною електромагнітною хвилею. Нехай монохроматична плоска хвиля поширюється в позитивному напрямку вздовж осі z і має циклічну частоту ω та хвильовий вектор k = (0,0,k), де хвильове число k = ω/c. Тоді електричне та магнітне поля E та H ортогональні до k в кожній точці; тобто лежать у площині, поперечній відносно напрямку руху. Більш того, H визначається з E поворотом на 90 градусів та множенням на певний коефіцієнт, що залежить від системи одиниць та хвильового імпедансу середовища. Тому при вивченні поляризації достатньо зосередитися на E. Комплексна амплітуда E записується

{\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}

.

Фізичне значення E визначається дійсною частиною цього вектора, а комплексний множник описує фазу хвилі.

Тоді вектор Джонса визначається як:

{\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.

Отже вектор Джонса зберігає інформацію про амплітуду та фазу x та y компонент поля.

Сума квадратів абсолютних значень двох компонент вектора Джонса пропорційна інтенсивності світла. Зазвичай її нормують на одиницю в тій точці, звідки починається розрахунок. Зазвичай, також, першу компоненту вектора Джонса покладають дійсним числом. Так відкидається інформація про спільну фазу, яка, втім, потрібна для розрахунку інтерференції з іншими пучками.

Вектори та матриці Джонса означені так, що фаза хвилі задається $\phi =kz-\omega t$ . При такому означенні збільшення $\phi _{x}$ (або $\phi _{y}$ ) відповідає відставання за фазою, а зменшення — опередженню. Наприклад, компонента вектора Джонса $i$ ( $=e^{i\pi /2}$ ) вказує на відставання на $\pi /2$ (або 90 градусів) у порівнянні з 1. Застосовуються й інша конвенція ( $\phi =\omega t-kz$ ), що вимагає уважності читача.

Наступна таблиця наводить 6 популярних прикладів вектора Джонса

Поляризація світла	Вектор Джонса	Типове кет-позначення
Лінійно поляризоване по x звична назва — горизонтальна	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$\|H\rangle$
Лінійно поляризоване по y звична назва — вертикальна	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$\|V\rangle$
Лінійно поляризоване під кутом 45° до осі x звична назва — діагональна L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$\|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +\|V\rangle )$
Лінійно поляризоване під кутом −45° до осі x звична назва — антидіагональна L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$\|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -\|V\rangle )$
Кругова поляризація проти годинникової стрілки звична назва — RCP або RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$\|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle -i\|V\rangle )$
Кругова поляризація за годинниковою стрілкою звична назва — LCP або LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$\|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\|H\rangle +i\|V\rangle )$

Загалом будь-який вектор можна записати в кет-нотації як $|\psi \rangle$ . Застосовуючи сферу Пуанкаре (відому також як сфера Блоха), базові кет вектори ( $|0\rangle$ та $|1\rangle$ ) повинні позначати протилежні кет-вектори з перерахованих пар. Наприклад, можна позначити $|0\rangle$ = $|H\rangle$ та $|1\rangle$ = $|V\rangle$ . Вибір тут довільний. Протилежні пари:

$|H\rangle$ та $|V\rangle$
$|D\rangle$ та $|A\rangle$
$|R\rangle$ та $|L\rangle$

Матриці Джонса

Матрицями Джонса називають оператори, що діють на вектори Джонса. Їх визначають для різних оптичних елементів: лінз, дільників пучків, дзеркал тощо. Кожна матриця є проєкцією на одновимірний комплексний простір векторів Джонса. В наступній таблиці наведено приклади матриць Джонса для поляризаторів:

Оптичний елемент	Матриця Джонса
Лінійний поляризатор з горизонтальною віссю пропускання	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Лінійний поляризатор з вертикальною віссю пропускання	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Лінійний поляризатор з віссю пропускання під кутом ±45° до горизонтальної	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Правозакручений круговий поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Лівозакручений круговий поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Маніпулювання фазою

Фазові перетворювачі вносять зміну в різницю фаз між вертикальною та горизонтальною поляризаціями, управляючи так поляризацією пучка. Зазвичай їх виготовляють з одновісних кристалів із подвійним променезаломленням, таких як кальцит, MgF₂ або кварц. Одновісні кристали мають одну з кристалічних осей, відмінну від двох інших (тобто, n_i ≠ n_j = n_k). Цю вісь називають незвичайною або оптичною. Оптична вісь може бути швидкою або повільною, залежно від кристалу. Світло поширюється з найвищою фазовою швидкість уздовж осі з найменшим показником заломлення, і цю вісь називають швидкою. Аналогічно, вісь із найбільшим показником заломлення називається повільною. «Негативні» одновісні кристали (наприклад, кальцит CaCO₃, сапфір Al₂O₃) мають n_e < n_o, тож для цих кристалів незвичайна (оптична) вісь є швидкою, тоді як «позитивні» одновісні кристали (наприклад, кварц SiO₂, MgF₂, рутил TiO₂) мають n_e > n _o, і незвичайна вісь у них є повільною.

Перетворювач фази з швидкою віссю, що збігається з осями x або y, має нульові недіагональні члени, а тому його можна відобразити матрицею

{\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}

де $\phi _{x}$ та $\phi _{y}$ — фази електричного поля в напрямках $x$ та $y$ , відповідно. У цій конвенції $\phi =kz-\omega t$ задає відносну фазу між двома хвилями як $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$ . Тоді додатне значення $\epsilon$ (тобто $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$ ) означає, що $E_{y}$ не матиме те ж значення, що $E_{x}$ ще деякий час, тобто $E_{x}$ веде $E_{y}$ . Аналогічно, якщо $\epsilon <0$ , то $E_{y}$ веде $E_{x}$ . Наприклад, якщо швидка вісь чвертьхвильової пластинки горизонтальна, фазова швидкість горизонтальної поляризації буде опереджати фазову швидкість вертикальної поляризації, тобто $E_{x}$ веде $E_{y}$ . Тож $\phi _{x}<\phi _{y}$ , що для чвертьхвильової пластинки дає $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$ .

Альтернативна конвенція для фази: $\phi =\omega t-kz$ , визначає відносну фазу як $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$ . Тоді $\epsilon >0$ означає, що $E_{y}$ ще деякий час не матиме того ж значення, що $E_{x}$ , тобто $E_{x}$ опереджає $E_{y}$ .

Елемент	Матриця Джонса
чвертьхвильова пластинка з вертикальною швидкою віссю	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка з горизонтальною швидкою віссю	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом $\theta$ до горизонтальної осі	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
чвертьхвильова пластинка зі швидкою віссю під кутом $\theta$ до горизонтальної осі	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Довільний матеріал з подвійним заломленням (як фазовий перетворювач)	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

Примітки

Множник $e^{i\pi /4}$ з'являється тільки тоді, коли визначити фазову затримку симетрично; тобто, $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$ . Таке визначення використовує книга, але не книга

Виноски

Fowles, G. (1989). Introduction to Modern Optics (вид. 2nd). Dover. с. 35.
Hecht, E. (2001). Optics (вид. 4th). с. 378. ISBN .
Gerald, A.; Burch, J.M. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (вид. 1st). John Wiley & Sons. ISBN .
Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, , Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).

[3] Множник $e^{i\pi /4}$ з'являється тільки тоді, коли визначити фазову затримку симетрично; тобто, $\phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4$ . Таке визначення використовує книга, але не книга

[fowles-1] Fowles, G. (1989). Introduction to Modern Optics (вид. 2nd). Dover. с. 35.

[hecht-2] Hecht, E. (2001). Optics (вид. 4th). с. 378. ISBN .

[4] Gerald, A.; Burch, J.M. (1975). Introduction to Matrix Methods in Optics (вид. 1st). John Wiley & Sons. ISBN .

[5] Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, , Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).