Теорема Лебега про розклад міри

Ввідні означення

Нехай ${\displaystyle F}$ — монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)-\lim _{x\to -\infty }F(x)<+\infty }$. У напівкільці всіх інтервалів виду ${\displaystyle [a,\;b)}$ можна ввести міру ${\displaystyle \mu _{F}}$ як: ${\displaystyle \mu _{F}[a,\;b)=F(b)-F(a)}$. Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів ${\displaystyle a,\;b}$ із скінченними кінцями:

${\displaystyle \mu _{F}[a,\;b)=F(b)-F(a)}$,

${\displaystyle \mu _{F}(a,\;b)=F(b)-F(a+0)}$,

${\displaystyle \mu _{F}(a,\;b]=F(b+0)-F(a+0)}$,

${\displaystyle \mu _{F}[a,\;b]=F(b+0)-F(a)}$.

де ${\displaystyle F(a+0)}$ і ${\displaystyle F(b+0)}$ позначають границі справа функції ${\displaystyle F}$ у відповідних точках.

${\displaystyle \mu _{F}}$ називається мірою Лебега — Стілтьєса.

Типи мір

• ${\displaystyle F}$ — функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок ${\displaystyle x_{i},\ i\geqslant 1}$ у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву ${\displaystyle x_{i}}$ він є рівним ${\displaystyle h_{i}=F(x_{i}+0)-F(x_{i})}$. Міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ множини ${\displaystyle A}$ у цьому випадку є рівною:

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\sum \limits _{x_{i}\in A}h_{i}}$

У цьому випадку ${\displaystyle \mu _{F}}$ називається дискретною мірою.

• Функція F є неперервною, монотонно не спадною на ${\displaystyle [a,\;b]}$ і ${\displaystyle F'(x)=f(x)}$. Тоді міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ множини ${\displaystyle A}$ є рівною:

${\displaystyle \mu _{F}(A)=\int \limits _{A}f(x)\,dx}$

У цьому випадку ${\displaystyle \mu _{F}}$ називається абсолютно неперервною мірою.

• ${\displaystyle F}$ — сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст ${\displaystyle F}$ рівний 1 на всьому відрізку, але ${\displaystyle F}$ є константою майже всюди ). Міра ${\displaystyle \mu _{F}}$ зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.

Теорема про розклад міри

Твердження для міри Лебега — Стілтьєса

Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.

Твердження для σ-адитивних мір

Якщо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ є заданими на вимірному просторі ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$ двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди) ${\displaystyle \nu _{0}}$ і ${\displaystyle \nu _{1}}$ для яких:

• ${\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}$
• ${\displaystyle \nu _{0}\ll \mu }$ (тобто ${\displaystyle \nu _{0}}$ є абсолютно неперервною щодо ${\displaystyle \mu }$)
• ${\displaystyle \nu _{1}\perp \mu }$ (тобто ${\displaystyle \nu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu }$ є сингулярними).

Ці дві міри є однозначно визначеними для ${\displaystyle \mu }$ and ${\displaystyle \nu .}$

Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо ${\displaystyle \mu =\nu }$ є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.

Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).

Див. також

• Інтеграл Лебега — Стілтьєса
• Теорема Радона — Нікодима

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)