Теорема Кронекера — Вебера

У алгебраїчній теорії чисел, теорема Кронекера — Вебера, названа на честь Леопольда Кронекера і , стверджує що кожне скінченне абелеве розширення поля раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, або іншими словами кожне алгебраїчне числове поле, чия група Галуа над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є абелевою, — є підполем деякого кругового поля, тобто поля, одержаного приєднанням кореня з одиниці до раціональних чисел.

Кронекер здійснив основну частину доведення у 1853 році, Вебер в 1886 році і Гільберт в 1896 заповнили деякі логічні пробіли. Теорема може бути доведена прямими алгебраїчними побудовами, але вона також є легким наслідком теорії полів класів.

Для заданого абелевого розширення K поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ можна визначити мінімальне кругове поле, що містить K. Для заданого K можна визначити найменше ціле число n, що K є підполем, поля породженого коренем з одиниці n-го степеня. Наприклад для квадратичних полів таким числом є абсолютна величина їх дискримінанта.

Джерела

• Greenberg, M. J. (1974). An Elementary Proof of the Kronecker-Weber Theorem. American Mathematical Monthly. The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 6. 81 (6): 601—607. doi:10.2307/2319208.