Множина — одне з ключових понять математики, зокрема, теорії множин і логіки.
Сімейство множин
Нехай U — універсальна множина. Якщо кожному натуральному числу n взаємно однозначно поставити у відповідність деяку підмножину An⊆U, то тим самим буде визначено послідовність множин A1, …, An, … або, в короткому записі, (An) n∈N. Припустимо тепер, що замість множини Н натуральних чисел задано довільну множину І і кожному елементу i∈I взаємно однозначно поставлено у відповідність підмножину Ai⊆U. Тоді кажуть, що задано (індексоване) сімейство множин (Ai) i∈I. Множину J називають множиною індексів, а множини Ai — елементами сімейства (Ai) i∈І.
У разі I∈Н отримуємо послідовність множин, або зліченне сімейство множин; якщо множина I скінченна, отримуємо скінченне сімейство множин. Таким чином, сімейство (Ai) i∈І визначено, якщо задано відображення ν: I → 2U
Відзначимо, що будь-яку множину, елементами якої є деякі підмножини універсальної множини U, тобто будь-яка множина A⊆2U, можна вважати сімейством (Ai) i∈I, де I = A, a ν — тотожне відображення множини А на себе.
Двоїстість відкритих і замкнутих множин
Теорема
Для того щоб множина E ⊃Rn була замкнутою, необхідно і достатньо, щоб її доповнення G≡cF було відкритим.
Доведення
Необхідність. Нехай E замкнута і x — довільна точка з G. Доведемо, що вона буде внутрішньою в G. Оскільки x∉E, то вона не буде граничною точкою для E і знайдеться такий її окіл Ux, який не містить жодної точки з E. Отже, цей окіл повністю міститься в G, так що x — внутрішня точка G.
Достатність. Припустимо тепер, що G — відкрита. Доведемо тоді, що E — замкнута. Для цього достатньо показати, що будь-яка точка x, яка не належить E, не буде граничною для E. Якщо x∉E, то x∈G, а оскільки G відкрита, то знайдеться окіл Ux⊂G. Він не буде містити точок з E, так що x не є граничною для Е.
Відкриті множини та їх властивості
Множина всіх точок х простору Рn, таких, що |x-x0|<ρ, ρ>0, називається відкритою кулею з центром у точці x0 і радіусом ρ. Ця куля також називається ρ-околом точки x0 і позначається B(x0, ρ).
Відкриті множини в просторі Rn мають такі властивості:
- Порожня множина ∅ і весь простір Rn відкриті;
- Перетин будь-якого скінченного числа відкритих множин також відкритий;
- Об'єднання сімейства Gα α∈A відкритих множин також відкрите.
Див. також
- Алгебра множин
- Клас (теорія множин)
- (Дельта-кільце)
- Кільце множин
- Парадокс Расселла
- Сигма-алгебра
- (Сигма-кільце)
Література
- В. І. Коляда, А. А. Кореновский. Курс лекцій з математичного аналізу — Одеса, «Астропринт», 2009. (с.236)
- Навчально-методичні ресурси (Петрозаводського державного університету), курс математичного аналізу, частина 4, глава 7 «Функції багатьох змінних».
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет